salut

la différentielle n'était-elle pas constituée de n dérivées directionnelles particulières (dans un espace de dimension n) ?

Soient par exemple f :  ²    et a    ² .

Dire que f est différentiable au point a  = (a₁ , a₂)c'est dire qu'il existe  une application linéaire L de ²  vers   telle que pour tout u on ait  f(a + u) = f(a) + L(u) + (u) où : :  ² vérifie  (u)/||u|| 0 quand u 0 .
L est de la forme (x,y) Ax + By et on l'appelle dérivée (ou différentielle ) de f au point a . .

On peut s'amuser à regarder l'application , que je note f(. , a₂) ,  t   f(t , a₂) qui va de vers .
Si f est différentiable en a , f(. , a₂) est dérivable en a₁ et son "nombre dérivé en a₁ " est A .
Pareil pour f(a₁, .)
Si f est différentiable sur une partie W de ²  , en chaque point a de W on aura des A et B  qu'on peut donc noter A(a) et B(a) .
  a A(a)  est la fonction dérivée partielle de f par rapport à la première variable  et  a B(a)  la fonction dérivée partielle de f par rapport à la deuxième variable . On peut les noter D₁f(a) et D₂f(a) respectivement .

Maintenant v étant un vecteur non nul de ² on peut regarder l'application   t   f(a + t.v) = f(a₁ + tv₁ , a₂ + tv₂) .
Si elle est dérivable en 0 on dit que f admet une dérivée dans la direction v .

Si f est   différentiable  en a , t f(a + t.v)  est dérivable en 0 et son nombre dérivé est  D₁f(a).v₁) + D₂f(a).v₂

MAIS f peut être dérivable dans toutes les directions en un point sans y être différentiable  ( par exemple (x,y) |x + y|  en (0,0) )