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Dérivée exponentielle
Bonjour,
Je bloque actuellement sur une dérivée, la fonction est la suivante:
f(x)=(1/x²)(e^1/x)
j'ai dérivé 1/x² et trouve -2/x^3
ensuite e^1/x=-1/x²(e^1/x)
après j'applique u'v+v'u mais je trouve des trucs trop longs, à la fin je dois tomber sur -1/x^4.e^1/x.(2x+1)
sauf que je suis loin de trouver ça, je me suis surement tromper dans mes dérivées ou dans ma façon de procéder, pouvez vous m'aider?
Salut,
On a bien u = 1/x² donc u' = -2/x3 et v = e1/x donc v' = -1/x² * e1/x.
Applique u'v + v'u , en factorisant v = e1/x ...
oui c'était la bonne démarche
u'v + v'u = (-2/x^3 )(e^1/x) -1/x²(e^1/x) (1/x²) = (-2/x^3 - 1/x^4)(e^1/x)
= (-2x-1)(e^1/x)/x^4 = -(2x+1) e^1/x /x^4
il suffisait de mettre e^1/x en facteur et de réduire au même dénominateur.
Merci beaucoup!
Je dois ensuite déterminer le tableau de signe de la dérivée pour trouver les variations de la fonction, au final je la trouve croissante sur ]-inf;-1/2[ et décroissante sur ]-1/2;+inf[
Cependant sur la courbe représentative à la calculatrice on observe un intervalle où la courbe n'est pas continue, je sais pas trop comment interpréter ça.
enfin je dois montrer que l'équation f(x)=2 admet une unique solution appartenant à ]0;+inf[
j'ai utilise le théorème des valeurs intermédiaires appliqués aux fonctions strictement monotones car sur cet intervalle la fonction est strictement décroissante (du moins selon mon raisonnement), est-ce la bonne méthode?
regarde ce qu'il se passe en 0
la limite par valeurs inférieures est 0 alors que par valeur supérieures elle vaut +
donc c'est normal que tu visualises une discontinuité.
sinon oui le TVI, très bien.
Mais est ce que je dois représenter cette discontinuité dans mon tableau de variation? Si oui comment?
en mettant une double barre en 0 (fonction non définie, valeur interdite)
et en faisant figurer les deux limites (celle à gauche et celle à droite)
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