Bonjour,
La fonction ln n'est pas strictement positive. Par exemple ln(1/e) = -1 .
La fonction ln est définie sur ]0;+[ .

Ici, avec f(x) = ln(-x) on doit avoir -x > 0 . La fonction f est définie et dérivable sur ]-;0[ .

Dans ton cours, tu as sans doute une formule pour dériver ln(u).

Merci, je me suis mal exprimé, (ln(u))'= u'/u . ici ln(-x)= -1/-x = 1/x, c'est correct ?

Oui, avec f(x) = ln(-x) on trouve bien f '(x) = 1/x .

Mais x < 0

Je rencontre toujours des difficultés, j'aimerais donc solliciter encore un peu plus ton aide, si cela ne te dérange pas ^^'.
Je cherche en réalité à résoudre e^x + ln(x)=0 , cette équation est donc définie sur R+* et possède obligatoire au moins une solution puisque la limite quand x tend vers 0 de e^x est 0 et la limite de ln(x) quand x tend vers 0 est -l'infinie et les limites en +l'infinie sont similaires pour les deux fonctions réciproques, à savoir + l'infinie (donc puisque fonction continue, etc... on peut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et par dichotomie retrouver alpha, tel que f(alpha)=0, en posant f(x)=e^x + ln(x).

J'aimerais cependant chercher à obtenir la solution alpha de manière plus rigoureuse, je t'expose donc mon raisonnement et t'encourage à souligner mes fautes ou diverses incohérences :


f(x)=  e^x+ln(x), x appartient à l'intervalle I : ]0; +l'infinie[
f'(x)= e^x + 1/x

Je cherche donc f'(x)>> 0 sur I. A partir de là, je peux directement dire que f'(x) >0 pour tout x appartenant à I puisque e^x>0 et 1/x également puisque x est strictement positif.
Ainsi je peux appliquer le TVI.

Cependant, j'aimerais imaginer la suite du raisonnement si on ne remarque pas spontanément que f' >0 .

Ainsi, on peut donc par "entêtement" (le mot n'est surement pas correct mais peut illustrer en partie l'idée mentionnée) obtenir

f'(x)>> 0    <=>  e^x + 1/x >> 0 <=>  (xe^x +1)/x >> 0  <=> xe^x+1 >>0  <=> e^x(x+e^-x)>>0 , puisque e^x * e^-x = e^x-x = e^0 =1
                                                                        <=> x+e^-x >>0  ,     puisque e^x >0
                                                                        <=> e^-x >> -x
                                                                        <=> -x >> ln(-x)
                                                                        <=> -x-ln(-x) >>0
                                                                        <=> x+ ln (-x) <<0

A partir d'ici, afin de savoir quand x+ ln(-x) <<0, je pose g(x) = x+ln(-x) , g(x) étant définie sur ]- l'infinie;0[ et je calcule ses variations et ses limites.

Ainsi, g(x)  = x+ ln(-x)
       g'(x) = 1 + 1/x

Je cherche ensuite :  g'(x)>>0  <=> 1+1/x >>0 <=> (x+1)/x >>0  <=> x>>-1

J'en déduis donc que g'(x) est négative sur ]-l'inf; -1[ et positive sur ]-1; 0[, et par conséquent g(x) est respectivement décroissante puis croissante sur les intervalles mentionnés précédemment. Mais à partir de ce point j'ai un énorme problème !! car :

lim quand x tend vers -l'inf de g(x) est -l'inf, par croissance comparée (je ne sais pas le démontrer !!!) et lim quand x tend vers 0 de g(x) est -l'inf, là il n'y a aucun problème. Or g(-1) = -1, donc il y a ici incohérence puisque j'ai montré que la fonction est décroissante puis croissante, or g(x) ne peut pas être décroissante de -l'inf à -1 !!!




Une fois ce problème résolu,  je dois savoir quand g(x) << 0 afin de résoudre l'équation initiale.  Il faudra donc étudier le tableau de variation de g(x) une fois qu'il sera correct.
J'espère que tu pourras m'éclaircir sur ces différents points.
Merci

Bonjour,
Il y a quelque chose qui "cloche" dans ta tentative pour résoudre f '(x) > 0 :
Tu multiplies au début par x. Correct car x > 0 .
Mais ensuite tu utilises ln(-x) qui n'existe pas car -x < 0

Tu ne trouveras rien de mieux que le TVI pour justifier l'existence de .
Pour trouver une valeur approchée de , il y a des méthodes plus performantes que la dichotomie. Mais aucune chance de trouver sa valeur exacte.

Juste un détail.

Si on passe par l'étude de f(x) = e^x + ln(x) pour résoudre e^x + ln(x) = 0, alors, pour minimiser le travail, il est bon de limiter autant que possible le domaine d'étude.

e^x + ln(x) = 0 (1)
Comme e^x > 0 quelle que soit la valeur de x, (1) impose que l'on doit avoir ln(x) < 0 et donc x compris dans ]0 ; 1[

On peut donc limiter l'étude de f(x) = e^x + ln(x) sur ]0 ; 1[

Merci à vous deux pour vos réponses :

J-P, J'apprécie ta remarque pertinente mais pour ne pas s'y perde, je ne vais pas changer le domaine de définition étudié.

Sylvieg, En effet, ma démarche n'aboutit pas mais j'ai tout de même quelques questions qui risquent de te paraître absurde mais qui me permettraient d'y voir plus clair.

Afin de déterminer lorsque f'(x) >> 0 , comment m'y prendre pour simplifier l'inégalité ? A partir de la ligne x + e^-x >> 0 , ne peut t'on pas aller plus loin ? Est-on obligé de souligner l'évidence que sur le domaine étudié (donc ] 0 ; + l'inf[ ) x + e^-x est forcément positif ?


De plus, si l'on ne prend pas en compte de la première partie, peux-tu m'éclaircir sur mon problème lié à l'établissement du tableau de variation de la fonction g(x) = x + ln(-x), avec x C ]- l'inf; 0[ ?? ou encore démontrer la limite de cette fonction g en -l'inf ?

Quoi qu'il en soit, je vous remercie une nouvelle fois de m'accorder votre temps.

Pour le signe de x+e^-x avec x positif, je ne vois pas d'autre méthode que "somme de deux réels positifs".

Pour l'étude de g avec g(x) = x + ln(-x) :

Sur ]-;0[ g '(x) = 1 + 1/x = (x+1)/x .
x < 0 donc g '(x) est du signe de -(x+1). g est croissante sur ]-;-1] et décroissante sur [-1;0[ , avec comme maximum g(-1) = -1 .

Je vais regarder les limites de g.

En 0 pas de problème.

En - il y a une forme indéterminée du type " - " car ln(-x) a pour limite + et x a pour limite - .
On pseudofactorise par le terme prédominant : g(x) = x(1 + (ln(-x))/x ) = x(1 - (ln(-x))/(-x) )

Or (lnX)/X a pour limite 0 quand X tend vers + ; donc (ln(-x))/(-x) a pour limite 0 quand x tend vers -.

A partir de là, la limite de g en - se trouve facilement.

Merci beaucoup pour ces informations. En revanche, pour l'étude de g, je n'avais pas remarqué que puisque x<0 , g'(x) est du signe de -(x+1) et non pas (x+1) . J'aimerais donc savoir, de manière générale, quand est-ce que je dois opter pour un tel raisonnement ? Est-ce que cela s'applique uniquement lorsque x est au dénominateur ? Et quand est-il lorsque x prend des valeurs négatives et positives ?

En me relisant, je ne crois pas être très explicite, je reformule donc mon interrogation : je cherche à connaître dans quelles circonstances dois-je changer le signe devant mon inéquation.

Le mieux est d'utiliser un tableau de signes.
Pour le quotient (x+1)/x tu fais un tableau avec le signe de x+1 et le signe de x et, en dernière ligne, tu en déduis le signe du quotient.
Fais-le et tu comprendras mieux que dans certains cas on peut s'en passer. Mais il vaut mieux faire un tableau de signes que se tromper en croyant pouvoir s'en passer. C'est un outil formidable.

Merci, effectivement le tableau de signe illustre bien les différentes situations !

Une dernière chose, pour trouver la solution x tel que e^x + ln (x) =0 , quelles méthodes puis-je utiliser pour trouver cette solution (sans calculatrice) ???

Sans calculatrice peut-être, mais impossible sans calculs compliqués.
Il faudrait construire une suite définie par récurrence qui converge vers cette solution. La relation de récurrence ne comportant que des opérations faisables sans calculatrice.

Dans le même ordre d'idée, la lettre e désigne la solution de lnx = 1 .
On peut trouver de bonnes valeurs approchées de e avec 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + .... + 1/n!

Très bien , merci pour toutes ces aides

De rien et à une autre fois sur l'Ile