Bonjour
Dans ce cas si la question est simple, essayes de la poser correctement pour qu'on la comprenne.

Soit C une matrice (n,1). Donc A' est une matrice (1,n).
Soit M une matrice (n,n).

Soit S(C,M)=C'MC. Donc S est un scalaire.

Est-ce que     est une matrice de la dimension de C, soit (n,1)?

Pardon, j'ai écrit A' à la place de C'. C' est de dimension (1,n).

En fait je sais que dans ce cas précis, c'est le cas car la dérivée est simple à calculer (elle est égale à MC, donc de dimension (n,1).

Je voudrais savoir si c'est toujours le cas, à savoir si la dérivée d'une matrice A par rapport à une matrice B a toujours la dimension de la matrice B (j'aurais dû poser ma question ainsi).

Là on comprend mieux.

Il s'agit de l'écriture matricielle d'une forme quadratique définie sur E=R^n.

Autrement dit C représente les coordonnées  d'un vecteur x   et si je désigne par
q la forme quadratique correspondant à M  

q(x)=S(C, M).   q est donc une application de E vers R.

C'est à dire que la  notation partial S/ partial C  n'est pas très adaptée au contexte.

On devine que derrière cela on demande ce qu'est la différentielle de q par rapport à la variable x.   Matriciellement cette différentielle est donnée par le gradient de q et c'est effectivement  une matrice (n,1).













  

Je ne crois pas que "la dérivée" comme tu dis soit égale à MC
Par ailleurs, dans ce genre de notion,  je te conseille de manipuler les objets mathématiques, le vocabulaire et la notation avec une certaine rigueur  (même s'il faut comprendre que les physiciens, mécaniciens et autres parlent de tout cela de façon un peu différentes).  

En fait le contexte est une optimisation de programme par lagrangien.

Le lagrangien est donné par L=S + lambda*T
avec lambda un réel et T un autre scalaire fonction de C lui aussi.

J'optimise sur C, je dois donc calculer la dérivée partielle de L par rapport à C puis la dérivée partielle de S par rapport à lambda. Je pense donc que le \partial est approprié.

D'ailleurs la dérivée de S par rapport à lambda est un scalaire, donc de la dimension de lambda.

La dérivée d'une matrice A par rapport à une matrice B a-t-elle toujours la même dimension que la matrice B?

Quant aux abus de notation, j'ai en effet été le premier surpris de devoir effectuer des calculs de dérivées sur des matrices... Pourtant la "dérivée" de S par rapport à C est bien MC dans la littérature que j'étudie.
Mon cadre est économique pour information.

Plus exactement la dérivée de S par rapport à C est 2MC (à la proportion près le 2* ne m'intéresse pas).

Il semble que  mots utilisés  " dérivée " , " dérivable " le sont à la place de " différentielle " ,  " différentiable "
Certains le font mais il faut savoir les manier correctement .

J'utilise l'ancien jargon .

On a ici 2  -ev  E = M_n,1()   ,  F = M_n() et  on définit  l'application H : ExF   ,  (X , Y) H(X , Y) :=  _j,k X_jY_j,kX_k  . Comme ce H(X,Y) est le seul élément de la matrice X*YX on le note aussi X*YX .

E et F sont des -ev de dimensions finies et H est une "fonction de 2 variables " .
1.
   Si on fixe  la première variable  on se donne U dans E et on considère  l'application Y H(U,Y) de F vers   , (application que je note H(U , .)  ) .Elle est linéaire     donc différentiable et en tout  Y sa différentielle  est elle même :  d_Y H(U , .)  = H(U , .)  pour tout Y .

Ceci montre que H admet en tout  (U,A) une différentielle partielle par rapport à la deuxième variable  . Si on la note D₂H(U,A) on a : D₂H(U,A)  : Y H(U,Y) = U*YU .
2.
   Si on fixe la deuxième variable  on se donne A dans F   et on considère l'application H(. , A ) : X H(X,A ) de E vers     . Elle  est différentiable  partout sur E  et pour tout U de E sa différentielle est d_UH(. ,Y)   :  X X*AU + U*AX  .
Ceci montre que H admet en tout  (U,A) une différentielle partielle par rapport à la première variable  . Si on la note D₁H(U,A) on a : D₁H(U,A) :  X X*AU + U*AX  .

3.
   On a donc montré que H admet des   différentielles partielles ( qui sont continues )  de sorte que  H est   différentiable  partout sur ExF  .

Si (U,A) ExF la différentielle  de H au point (U,A) est
(X , Y) [/smb] : D₁H(U,A)(X) +   D₂H(U,A)(Y) = X*AU + U*AX   +  U*YU  .

Rq :   On peut écrire  D₁H(U,A) et D₂H(U,A)   avec des " d ronds  " si on  préfère , mais on y perd en clarté et en simplicité ( d'écriture )