Beau jour,
f est la somme d'une série entière
Il faut déterminer cette série entière et, ce qui est le plus important :
appliquer correctement le théorème de convergence normale
Pour la relation de récurrence peux-tu préciser Pn

où Pn(x) est un polynome ayant la même parité que l'entier n et dont le terme dominant (terme de plus haut degrè) est n!x^(n).

Ne peut-on pas écrire une relation exprimant le polynome Pn+1 en fonction du polynome Pn et de sa dérivée.Si c'est le cas je pense passer à côté d'un aspect essentiel de la résolution.

Oh ! Et puis , euh...je ne connais pas le théorème de la convergence normale.Je ne crois pas encore l'avoir étudié en cours.

Bonjour kanak

Je crois que ce n'est pas la peine de passer par les séries entière.
Il suffit simplement de dire que les deux fonctions suivantes sont de classe :

(de dans )
(sur )

Ainsi, f est de classe par composition.

En ce qui concerne le polynôme intervenant dans la dérivée n-ième, il faut bien faire une récurrence.
Pour sa parité, remarque d'abord que f est paire. Ainsi, lorsque l'on dérive f un nombre pair de fois, la fonction obtenue est pair, dans le cas contraire elle est impaire.

Kaiser

merci Kaiser

Mais je t'en prie !

effectivement tu n'as pas besoin de ce théorème ici (je n'avais pas lu "racine carré(")
la fonction x->1/x est Cinfini sur R\{0}
la fonction x->(1-x^2) est Cinfini de ]-1;1[ dans ]0,1]
par composition f est Cinfini
La récurrence : elle est vraie au rang 0
(inutile de se casser la tête à calculer le rang 1)
en dérivant la proposition au rang n on obtient au numérateur :
P_n'(x)(1-x²)-(n+1/2)P_n(x)(-2x)
au dénominateur : (1-x²)^(n+3/2)

Pour le coefficient dominant il faut remarquer que le coeff de P_n'(x)
est n*n! et le calcul donne (n+1)! pour P_n+1(x)

merci Jerk!

après avoir vérifié la relation:

quelque soit x appartenant à ]-1;1[  (1-x²)*f'(x)-x*f(x)=0

comment en utilisant la formule de leibniz peut-on en deduire que:

quelque soit x appartenant à ]-1;1[ et pour tout n appartenant aux naturels,
Pn+1(x)=(2n+1)x*Pn(x)+n²(1-x²)*Pn-1(x)

merci d'avance

Il suffit de dériver n fois la relation que tu as obtenue en utilisant la formule de Leibniz.

n'y aurait-il pas deux oublies d'exposant dans la réponse de 14h28 , ligne 8.

calcule (x+y)/(x-y)en savoir que (x-y)(3x-2y)=2xy

Kanak, je ne vois pas, est-ce que tu peux envoyer ce que tu trouves ?

Bonjour, je sais que le post est un peu vieux mais bon...

J'ai le même exercice à faire, j'ai démontré par récurrence la formule f^[n](x)=P_n(x)/((1-x²)^(n+1/2)), puis avec la formule de Leibniz j'ai démontré que P_n+1(x)=(2n+1)*x*P_n(x)+n²*(1-x²)*P_n-1(x).

On me demande désormais de déduire la valeur de P_n(0) pour tout n; on doit étudier le cas n=2p et n=2p+1 , et on utilisera les factorielles.

Rappel : on sait que P_n est un polynôme ayant la même parité que l'entier n et f^[n](x)=P_n(x)/((1-x²)^1/2).

Je pensais réutiliser la formule démontrer avec Leibniz mais cela parait pas possible puisqu'il y a du x en facteur de P_n.

Bonjour

Mais ça marche... Tu fais x=0 dans ta formule et tu trouves



Donc ils se calculent de deux en deux... si qui justifie le fait qu'on trouve séparément les pairs et les impairs! Si tu connais les premiers, tu as tous les autres! (Je n'ai pas vérifié la formule)

En fait je viens de trouver les impairs car le polynôme possède la même parité que n: si n est impair on peut factoriser par x le polynôme P_n(x) donc P_2p+1(0)=0 et pour les pairs je vais essayer comme tu me dis.