Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Dérivée n-ième de 1/x(x+1)

Posté par
Wenzio
31-08-17 à 18:12

Salut, voici l'énoncé de l'exercice :

b) Pour n dans *, calculer la dérivée n-ième de :

f(x) = 1/x(x+1) ( on sait que 1/x - 1/x+1 = f(x)

J'arrive à trouver ça :

Fn(x) = ((-1)n * n! ) / xn+1    -    ((x+1)2n-2)' / (x+1)2n

Mais, je ne pense pas aboutir avec cela, la dernière question est :

c) Trouvez les nombres réels x tels que :
Fn(x) = 0

merci à l'avance

Posté par
sanantonio312
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 31-08-17 à 18:22

Bonjour,
Pour F(n)(x), c'est plutôt (-1)nn!(1/xn+1-1/(x+1)n+1)
Non?

Posté par
alb12
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 31-08-17 à 18:24

salut,
tu es sur de la derivee de 1/(x+1) ?

Posté par
alb12
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 31-08-17 à 18:29

rapide verif sur Xcas:

f(x):=1/(x);g(x):=-1/(x+1);
seq([factor(diff(f(x),x,n)),factor(diff(g(x),x,n))],n,1,10);


 \\ \left(\begin{array}{cc}
 \\ -\mathrm{inv}\left(x^{2}\right) & \mathrm{inv}\left(\left(x+1\right)^{2}\right) \\
 \\ \frac{2}{x^{3}} & -\frac{2}{\left(x+1\right)^{3}} \\
 \\ -\frac{6}{x^{4}} & \frac{6}{\left(x+1\right)^{4}} \\
 \\ \frac{24}{x^{5}} & -\frac{24}{\left(x+1\right)^{5}} \\
 \\ -\frac{120}{x^{6}} & \frac{120}{\left(x+1\right)^{6}} \\
 \\ \frac{720}{x^{7}} & -\frac{720}{\left(x+1\right)^{7}} \\
 \\ -\frac{5040}{x^{8}} & \frac{5040}{\left(x+1\right)^{8}} \\
 \\ \frac{40320}{x^{9}} & -\frac{40320}{\left(x+1\right)^{9}} \\
 \\ -\frac{362880}{x^{10}} & \frac{362880}{\left(x+1\right)^{10}} \\
 \\ \frac{3628800}{x^{11}} & -\frac{3628800}{\left(x+1\right)^{11}}
 \\ \end{array}\right) 
 \\

Posté par
carpediem
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 31-08-17 à 19:27

salut

on peut remarquer que (x \mapsto x)' = (x \mapsto x + 1)' = (x \mapsto 1)

donc les dérivées n-ième des fonctions x \mapsto \dfrac 1 x  et  x \mapsto \dfrac 1 {x + 1} sont les mêmes quand on remplace x par x + 1 dans la première ...

Posté par
Razes
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 31-08-17 à 20:20

alb12 @ 31-08-2017 à 18:29

rapide verif sur Xcas:

f(x):=1/(x);g(x):=-1/(x+1);
seq([factor(diff(f(x),x,n)),factor(diff(g(x),x,n))],n,1,10);

Bonjour,
Sincèrement, tu pense qu'en injectant un gros bidule comme tu aide à la résolution de l'exercice?

Posté par
alb12
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 31-08-17 à 21:27

il vaut peut etre mieux donner la solution toute faite comme on le voit souvent ?
rappel: les langages fonctionnels sont à la rentree au programme de seconde
et il n'y a pas que python dans la vie.

"tu pense qu'en injectant un gros bidule comme tu aide" que veux-tu dire par là ?

Posté par
co11
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 31-08-17 à 21:30

sanantonio, ta formule me parait juste
Elle se démontre par récurrence je pense, d'accord carpediem?
Ensuite, je n'ai pas encore regardé.

Posté par
alb12
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 31-08-17 à 21:32

le mieux serait de laisser l'initiative à Wenzio

Quant à la commande de Xcas suivante
deriver(1/x,x,10)
il ne faut pas etre grand clerc pour comprendre ce qu'elle renvoie.

Posté par
co11
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 31-08-17 à 21:53

Ensuite la seule solution me parait être  - 1/2
Voir les possibilités de justifications : niveau TS faite si je comprends bien ?

Posté par
alb12
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 31-08-17 à 22:32

la parite de n joue-t-elle un rôle ?

Posté par
Razes
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 31-08-17 à 22:47

b)
f(x) = \dfrac{1}{x(x+1)}=  \dfrac{1}{x}- \dfrac{1}{x+1}=x^{-1}-\left (x+1\right )^{-1}


g(x)=x^{-1}\Rightarrow g'(x)=(-1)x^{-2}\Rightarrow g''(x)=(-1)(-2)x^{-3}\Rightarrow ... \Rightarrow g^{(n)}(x)=...
Puis;
g(x+1)=\left (x+1\right )^{-1}\Rightarrow ...

Posté par
carpediem
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 01-09-17 à 18:25

Razes :: c'est exactement ce que j'ai écrit à 19h27 ...

co11 :: la formule du motard me semble correcte ...

Posté par
Wenzio
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 01-09-17 à 23:45

Merci pour vos réponse ! j'arrive bien à la formule de sanantonio, mais du coup, comme -1n*n! ne vaut jamais 0, il ne semble pas y avoir de solutions

Posté par
alb12
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 01-09-17 à 23:56

cherche un peu plus ...

Posté par
Wenzio
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 02-09-17 à 00:36

On est 2 à essayer de le faire, mais on y arrive pas ! -1^n * n! ne peut pas valoir 0 et
1/xn+1 - 1/(x+1)n+1 pareil non ?

1/xn+1 = 1/(x+1)n+1
xn+1 =  (x+1)n+1
x = x+1

et donc ? La rentrée est dans 2 jour, j'aimerais encore avancer un peu plus dans le pdf LLG, donc, même si ce n'est mon habitude, j'aimerais bien connaître la solution (moi ainsi que mon ami)

Posté par
alb12
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 02-09-17 à 09:53

a^n=b^n n'est pas equivalent  à a=b sauf si n est ...
essayer avec a^2=b^2 et avec a^3=b^3

Posté par
carpediem
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 02-09-17 à 13:25

Wenzio @ 01-09-2017 à 23:45

Merci pour vos réponse ! j'arrive bien à la formule de sanantonio, mais du coup, comme -1n*n! ne vaut jamais 0, il ne semble pas y avoir de solutions
que cherches-tu à faire ?

quelle est la question ?

Posté par
co11
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 04-09-17 à 21:52

Formule du motard, what ???

Posté par
Razes
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 04-09-17 à 23:39

Wenzio @ 02-09-2017 à 00:36

On est 2 à essayer de le faire, mais on y arrive pas ! -1^n * n! ne peut pas valoir 0 et
1/xn+1 - 1/(x+1)n+1 pareil non ?

1/xn+1 = 1/(x+1)n+1
xn+1 =  (x+1)n+1
x = x+1

et donc ? La rentrée est dans 2 jour, j'aimerais encore avancer un peu plus dans le pdf LLG, donc, même si ce n'est mon habitude, j'aimerais bien connaître la solution (moi ainsi que mon ami)


Avec  un peu de retard.

F^{(n)}(x)=(-1)^{n}n!\left ( \frac{1}{x^{n+1}}-\frac{1}{(x+1)^{n+1}} \right )

F^{(n)}(x)=0\Leftrightarrow x^{n+1}=(x+1)^{n+1}

Cas: n=2m  Alors:  x^{2m+1}=(x+1)^{2m+1}\Rightarrow x=x+1\Rightarrow S=\varnothing

Cas: n=2m+1   Alors:  x^{2m+2}=(x+1)^{2m+2}\Rightarrow x^{2}=(x+1)^{2}\Rightarrow x=-\frac{1}{2}

Posté par
jvhujhurh12
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 17-08-19 à 12:14

Bonjour, j'ai aussi du mal pour la dernière question. En effet, je ne savais pas que cette implication était fausse :    x^n = y^n  -> x=y   / n un entier naturel.
Si j'ai bien compris c'est plutôt cette implication qui est vraie : x^n = y^n  -> x=y  si il existe un certain k, entier naturel, tel que n = 2k.
Ainsi j'ignorais que la parité de "n" influait sur cette  implication. Je me demandais si vous auriez une démonstration de ce théorème et si vous pourriez me dire si j'ai bien compris là où était mon erreur. Cordialement.

Posté par
carpediem
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 17-08-19 à 12:21

il est évident que si n est pair alors (-x)^n = x^n ...

Posté par
carpediem
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 17-08-19 à 12:23

la fonction f  :  x \mapsto x^n est :

strictement croissante sur R si n est impair
n'est pas strictement croissante si n est pair

regarder l'intersection de la droite d'équation y = k avec la courbe de f lorsque n est pair et lorsque n est impair (niveau seconde) et réfléchir ...

Posté par
jvhujhurh12
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 17-08-19 à 14:50

Désolé mais je n'ai pas compris ton explication

Posté par
carpediem
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 17-08-19 à 15:08

dommage ...

Posté par
jvhujhurh12
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 17-08-19 à 15:26

Ta condescendance est insupportable, tes explications sont brouillons, mal syntaxées et sans aucune logique. Tu te crois sûrement supérieur à un élève de terminale et je t'en félicite, mais bon dans 2-3 ans j'aurais un meilleur niveau que toi et un parcours scolaire mieux réussi sachant que je rentre en MPSI à Henri 4 d'ici 2 semaine. Allez, reste dans ta médiocrité intellectuelle et sociale.

Posté par
fenamat84
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 17-08-19 à 16:27

Ce ne pas de la médiocrité sociale et intellectuelle !!
C'est à toi de réfléchir et de te creuser les méninges, car ce n'est sûrement pas carpediem ni moi ni quelqu'un d'autre qui va te pondre la correction toute faite !!
On te donne toutes les pistes pour avancer, après c'est à toi de jouer !!

Qu'est ce qui est si compliqué à comprendre dans les propos de carpediem ??

La fonction x^n est strictement croissante sur R si n est impair
et ne l'est pas si n est pair ??

La moindre des choses serait déjà de prendre un exemple non ?? n=2, 3, 4 etc... ??

Même un élève de seconde aurait compris !! Mais toi tu es en Terminale, donc sérieusement tu devrais te remettre en question !!

Et dernièrement les propos tels que :

Citation :
Tu te crois sûrement supérieur à un élève de terminale et je t'en félicite, mais bon dans 2-3 ans j'aurais un meilleur niveau que toi et un parcours scolaire mieux réussi sachant que je rentre en MPSI à Henri 4 d'ici 2 semaine.


Déjà commence par y entrer et ce que je te souhaite !! Car tu es loin du niveau de carpediem...
Car avec une telle question que tu ne sais résoudre, le niveau MPSI est beaucoup difficile et intensif !! Tu as intérêt à vite t'accrocher avant d'être complètement largué...

Avoir des rêves c'est bien, l'atteindre c'est tout autre chose... médite là dessus...

Posté par
jvhujhurh12
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 17-08-19 à 16:58

Ma question était peut être un peu bête mais je pense que la très grande majorité des élèves de terminales se seraient posés cette question et peu aurait pensés à séparés en deux cas selon la parité de l'exposant. Cependant, on ne peut nier par contre la condescendance de carpediem par l'utilisation de "..." ou de "dommage".

Posté par
malou Webmaster
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 17-08-19 à 18:46

jvhujhurh12, ça t'est monté à la tête de passer en sup !! n'oublie pas, la plupart d'entre nous sommes passés par là ! ....un peu de modestie !

et puis honnêtement

Citation :
La rentrée est dans 2 jour, j'aimerais encore avancer un peu plus dans le pdf LLG, donc, même si ce n'est mon habitude, j'aimerais bien connaître la solution (moi ainsi que mon ami)


vous démarrez mal les gars, si vous demandez des solutions toutes faites au lieu de réfléchir...
(modérateur)

Posté par
carpediem
re : Dérivée n-ième de 1/x(x+1) 17-08-19 à 19:43

jvhujhurh12 @ 17-08-2019 à 15:26

Ta condescendance est insupportable, tes explications sont brouillons, mal syntaxées et sans aucune logique.
je ne vois nulle part cela dans mes deux dernières interventions :
carpediem @ 17-08-2019 à 12:21

il est évident que si n est pair alors (-x)^n = x^n ...
est la simple traduction de la règle des signes apprises en collège ...
en particulier cela signifie que :
si y = x alors y^n = x^n (par définition d'une fonction : lire un cours)
mais aussi que si y = -x alors y^n = x^n (donc lorsque n est pair bien sur)


carpediem @ 17-08-2019 à 12:23

la fonction f  :  x \mapsto x^n est :

strictement croissante sur R si n est impair
n'est pas strictement croissante si n est pair

regarder l'intersection de la droite d'équation y = k avec la courbe de f lorsque n est pair et lorsque n est impair (niveau seconde) et réfléchir ...
tout est écrit proprement en français correctement sans faute ni erreur de syntaxe ni de logique et aucunement brouillon ...


Tu te crois sûrement supérieur à un élève de terminale je ne le crois pas mais je le suis ...  et je n'en tire aucune fierté ... c'est simplement un constat et un fait présent ...

mais surtout je sais exactement ce qu'il faut faire .... ou plutôt ne pas faire ... pour aider un élève à avancer : lui donner la direction à prendre s'il est perdu mais surement pas le trainer jusqu'à la sortie car alors il sera rester passif  et c'est totalement antinomique avec un apprentissage : copier une réponse ce n'est pas répondre c'est voler la réponse d'un autre !!!

mais/et si demain tu m'es "supérieur" alors je te féliciterai sans aucune jalousie et je te souhaiterai de bien en profiter !! (*)


et je t'en félicite, mais bon dans 2-3 ans j'aurais un meilleur niveau que toi et un parcours scolaire mieux réussi sachant que je rentre en MPSI à Henri 4 d'ici 2 semaine. ben pour l'instant je te souhaite bon courage et je te souhaite de réussir vu ce qui précède ... même si pour l'instant j'ai de fort doute sur une réussite sereine ... mais je serai le premier à te féliciter voir (*)


Allez, reste dans ta médiocrité intellectuelle et sociale. ma nature humaine fait de moi un être médiocre ... mais j'en suis conscient !!! et toi ?

et j'essaie de faire/je fais des efforts pour être ... mieux meilleur !!!  allez !!! première faute de français !!!


merci à malou et à fenamat84  



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !