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Derivée n-ième de Arctan(x)

Posté par
mathosaurus 13-11-16 à 15:04

Bonjour, on nous a récemment soumis dans le cadre du cours un exercice qui consiste à déterminer la dérivée n-ième de la fonction Arctan.  Sachant que pour tout nombre réel x on a Arctan'(x) = \frac{1}{x^2+1} on nous propose d'étudier les dérivées successives de (x^2 +1)(Arctan'(x)).

Je pensais utiliser la formule de Leibnitz.  Je commence par calculer les dérivées successives de   (x^2+1) et on obtient

- f^{(0)} = x^2+1
-f^{(1)} = 2x
-f^{(2)} = 2
et \forall n \in \mathbb{N} > 2, f^{(n)} = 0

On a donc d'après la formule de Leibnitz
((x^2+1)Arctan'(x))^{(n)} = (x^2+1)Arctan(x)^{(n+1)} + 2nxArctan(x)^{(n)} + n(n-1)Arctan(x)^{(n-1)}

Cependant je ne vois pas du tout comment obtenir Arctan^{(n)} à partir du résultat précédent. Je m'en remet donc à vous si quelqu'un aurait la gentillesse de bien vouloir m'éclairer. Merci d'avance et très bonne fin de week-end.

Posté par
carpediemre : Derivée n-ième de Arctan(x) 13-11-16 à 15:54

salut

peut-être calculer les deux-trois première dérivées à la main pour voir ... puis faire une récurrence propre ... pour corriger d'éventuelles erreurs ....

Posté par
luzakre : Derivée n-ième de Arctan(x) 13-11-16 à 16:28

Bonjour !
Si u=\arctan, la fonction x\mapsto (x^2+1)u'(x) (je refuse d'écrire \arctan') est constante.
En prenant la dérivée d'ordre n-1,\;n>1 tu as une dérivée nulle qui te donne une relation de récurrence entre u^{(n)},\;u^{(n-1)},\;u^{(n-2)}  et tu exploites cette relation de récurrence (quelques termes pour voir où aller, démonstration par récurrence).

Posté par
mathosaurusre : Derivée n-ième de Arctan(x) 13-11-16 à 17:39

Hello merci pour vos réponses,

En calculant à la main les dérivées sucessives de Arctan j'obtient les résultats suivants:

- f^{(1)}= \frac{1}{1+x^2}
- f^{(2)}= \frac{-2x-1}{(1+x^2)^2}
- f^{(3)}= \frac{6x^2+2}{(1+x^2)^3}
-f^{(4)}=\frac{12x^3-18x^2+12x-6}{(1+x^2)^4}

De la il semble se dégager un schéma : Au dénominateur j'ai (1+x^2)^n.
Il semblerait aussi que le terme de plus haut degré soit de degré n-1 et que le coefficient qui le précède soit (n-1)n

Posté par
carpediemre : Derivée n-ième de Arctan(x) 13-11-16 à 17:51

essaie (peut-être) de préciser un peu mieux la récurrence qui peut exister au numérateur

si P(x) est le numérateur de f(n) (et connaissant son dénominateur) quel est le numérateur de f(n + 1)

et il est plus judicieux de factoriser plutôt que de développer ...

Posté par
mathosaurusre : Derivée n-ième de Arctan(x) 13-11-16 à 18:35

si je pose f^{(n)} =\frac{P_{n}}{(1+x^2)^n} alors j'obtiens f^{(n+1)} = \frac{P_n'(1+x^2) - nP_n}{(1+x^2)^{n+1}}

Donc P_{n+1} = P_n'(1+x^2) - 2nP_n ?

Posté par
mathosaurusre : Derivée n-ième de Arctan(x) 13-11-16 à 18:40

Oups il y à une coquille dans ce que je viens de poster il semblerait que ce soit plutôt

f^{(n+1)} = \frac{P_n'(1+x^2)-2nxP_n}{(1+x^2)^{n+1}}

d'où P_{n+1} = Pn'(1+x^2) - 2nxP_n

Posté par
etniopalre : Derivée n-ième de Arctan(x) 13-11-16 à 19:05

Il vaut mieux écrire
P_{n+1} =( X^2 + 1)P_n' - 2nXP_n  car si Q   K[X] , Q(X² + 1) désigne le polynôme obtenu  à partir de Q = anXn en y  remplaçant X par X² + 1 .

Posté par
carpediemre : Derivée n-ième de Arctan(x) 13-11-16 à 19:46

ouais ...

ou plutôt certainement écrire la variable ... très surement ... P_{n + 1}(x) = P'_n(x)(x^2 + 1) - 2nxP_n(x)

la question est donc maintenant : peut -on exprimer P_n(x) en fonction de n à partir de cette relation de récurrence ?

Posté par
etniopalre : Derivée n-ième de Arctan(x) 13-11-16 à 19:56

Si tu utilise la variable (notée x ou t ou ..) P_{n + 1}(x) = P'_n(x)(x^2 + 1) - 2nxP_n(x) doit être précédée d'un quantificateur rpour en faire une  proposition .

Posté par
mathosaurusre : Derivée n-ième de Arctan(x) 13-11-16 à 20:02

En calculant les valeurs de P_n j'obtiens

P_1 = 1
P_2 = -2x
P_3 = 6x^2 -2
P_4 = -24x^3 +24

Je crois remarquer que l'on peut écrire que P_n = n!x^{n-1}(-1)^{n-1} + C
Cependant je ne vois pas de relation évidente qui me donne C.

Posté par
etniopalre : Derivée n-ième de Arctan(x) 13-11-16 à 20:25

2i.Arctan ' : x   1/(x - i) - 1/(x + i))  donc
2i.Arctan(n) : x   (-1)n+1(n-1)!( 1/(x - i)n - 1/(x + i))n  ) = (-1)n+1(n-1)!Un(x)/(x²+1) où le polynôme Un vaut (X + in) -  (X - in)

Il n'y a plus qu'à développer et simplifier .

Posté par
mathosaurusre : Derivée n-ième de Arctan(x) 13-11-16 à 22:08

Dans mon cours j'ai effectivement une formule qui me donne

2iArctan^{(n)} = \frac{(n-i)!}{(-i-x)^n} - \frac{(n-1)!}{(i-x)^n} c'était le résultat auquel on est parvenu lorsque on a utilisé la méthode des complexes. Cependant je ne vois pas le lien avec les polynômes que nous avons exploiter précédemment

Posté par
etniopalre : Derivée n-ième de Arctan(x) 13-11-16 à 22:37

Ce n'est pas  2iArctan^{(n)} = \frac{(n-i)!}{(-i-x)^n} - \frac{(n-1)!}{(i-x)^n} \\ mais
2iArctan^{(n)} = \frac{(n-1)!}{(-i-x)^n} - \frac{(n-1)!}{(i-x)^n}
Tu mets (-1)n(n-1)! en facteur et il te restera  une fraction rationnelle de dénominateur (x² + 1)n .


Posté par
mathosaurusre : Derivée n-ième de Arctan(x) 13-11-16 à 22:54

Oui effectivement j'ai du faire une erreur lorsque j'ai recopier la formule. En faisant ce que tu me dis je retrouve effectivement une telle fraction rationnelle cependant je ne saisis toujours pas le lien avec le Polynôme  P_{n}

Posté par
etniopalre : Derivée n-ième de Arctan(x) 13-11-16 à 23:22

As-tu explicité Un ( avec un ou avec des ....)?

Posté par
mathosaurusre : Derivée n-ième de Arctan(x) 13-11-16 à 23:38

Je crains, n'ayant pas encore eu le cours sur les polynômes que mes connaissances sur ces derniers ne soient à l'origine de mon blocage. Si je me réfère à plus haut U_n vaut (X + i^n) -  (X - i^n) soit 2i^n

Posté par
mathosaurusre : Derivée n-ième de Arctan(x) 13-11-16 à 23:44


2iArctan^{(n)} = \frac{(n-1)!}{(-i-x)^n} - \frac{(n-1)!}{(i-x)^n}

soit 2iArctan^{(n)} = (n-1)!(-1)^n\frac{(x-1)^n - (x+1)^n}{(1+x^2)^n}

Posté par
veledare : Derivée n-ième de Arctan(x) 14-11-16 à 00:12

bonsoir,
il y a une erreur de frappe  c'est (X+i)n-(X-i)n)
en  développant tu verras que  les termes en i2p et(-i)2p  se détruisent

Posté par
veledare : Derivée n-ième de Arctan(x) 14-11-16 à 00:16

d'accord,tu as rectifié

Posté par
luzakre : Derivée n-ième de Arctan(x) 14-11-16 à 05:25

mathosaurus @ 13-11-2016 à 22:54

Oui effectivement j'ai du faire une erreur lorsque j'ai recopier la formule. En faisant ce que tu me dis je retrouve effectivement une telle fraction rationnelle cependant je ne saisis toujours pas le lien avec le Polynôme  P_{n}

Je ne comprends pas pourquoi tu as abandonné le calcul par la formule de Leibnitz pour te lancer dans une récurrence de polynômes sans issue.

Je t'avais indiqué que la clé était : f(x)=(x^2+1)u'(x)=1 a toutes ses dérivées nulles donc
0=f'(x)=(x^2+1)u''(x)+2xu'(x) et, pour n>1,
0=f^{(n)}(x)=0=(x^2+1)u^{(n+1)}(x)+2nxu^{(n)}(x)+n(n-1)u^{(n-1)}(x)
En posant v_n(x)=\dfrac{u^{(n)}(x)}{n!} la deuxième relation donne
(x^2+1)v_{n+1}(x)+2xv_n(x)+v_{n-1}(x)=0 pour n>1 et même pour n=1 avec la convention v_0(x)=0.

la récurrence double (x^2+1)v_{n+1}(x)+2xv_n(x)+v_{n-1}(x)=0  se traite de la manière habituelle (les coefficients dépendent d'un paramètre, et alors ?)
L'équation caractéristique (x^2+1)r^2+2xr+1=0 a deux racines distinctes r=-\dfrac{x+i}{x^2+1},\;s=-\dfrac{x-i}{x^2+1} d'où l'existence de complexes a(x),\;b(x) tels que
\forall n\in\N,\;v_n(x)=a(x)r^n+b(x)s^n=\dfrac{(-1)^n}{(x^2+1)^n}\bigl( a(x)(x+i)^n+b(x)(x-i)^n\bigr).
Tu calcules a(x),\;b(x) grâce aux valeurs initiales n=0,\;1 (ou n=1,\;2 si tu n'aimes pas ma convention pour v_0) et tu en déduis
\forall n\in\N^*,\;u^{(n)}(x)=\dfrac{(-1)^nn!}{(x^2+1)^n}\bigl( a(x)(x+i)^n+b(x)(x-i)^n\bigr)

Posté par
alainpaulre : Derivée n-ième de Arctan(x) 14-11-16 à 10:12

Bonjour,

Si j'ai bien compris,nous pouvons en fait, nous satisfaire de la dérivée (n-1) e de:

\frac{1}{2}((1-ix)^{-1}+(1+ix)^{-1})


Alain

Posté par
luzakre : Derivée n-ième de Arctan(x) 14-11-16 à 13:55

Bonjour alainpaul
Oui, mais il semblerait que cette méthode soit celle qui figurait dans le cours de mathosaurus et
il en voulait une autre obtenue par utilisation de la formule de Leibnitz : voir mon message précédent.

En utilisant la formule de Leibnitz il y a en fait une autre approche :
\dfrac1{x^2+1}=\dfrac1{x+i}\,\dfrac1{x-i} et la dérivée d'ordre p de (x+i)^{-1} étant (-1)^pp!(x+i)^{-p-1}
on arrive pour la dérivée d'ordre n de \arctan à

\Large\sum_{k=0}^{n-1} \binom {n-1}k\dfrac{(-1)^kk!}{(x+i)^{k+1}}\,\dfrac{(-1)^{n-1-k}(n-1-k)!}{(x-i)^{n-k}} qui ne semble pas très prometteur! Mais qui sait ?

Posté par
jandri Correcteurre : Derivée n-ième de Arctan(x) 14-11-16 à 15:27

En simplifiant les factorielles et avec l'identité a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+...+b^{n-1}) on retrouve le bon résultat

Posté par
luzakre : Derivée n-ième de Arctan(x) 14-11-16 à 17:26

Merci jandri
J'ai été un peu "timide" mais c'est effectivement abordable !
"On" m'a fait une fois remarquer que cette identité était susceptible d'être inconnue à notre époque. Encore une "que les moins de vingt ans etc..."
J'ose espérer toutefois qu'elle est quand même connue des taupins !

Posté par
alainpaulre : Derivée n-ième de Arctan(x) 14-11-16 à 17:46

Bonsoir,

Entre les énoncés vagues et les énoncés 'évolutifs' je me sens souvent frustré:
ici,par exemple,comment puis-je connaître la solution proposée dans le livre du demandeur?

L'identité a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1+...+b^{n-1})  peut être facilement reconstituée par un élève de maths sup.

Alain

Posté par
jandri Correcteurre : Derivée n-ième de Arctan(x) 14-11-16 à 18:11

L'identité a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+...+b^{n-1}) figure explicitement au programme 2013 des MPSI, des PCSI et des PTSI.

Posté par
luzakre : Derivée n-ième de Arctan(x) 14-11-16 à 18:13

En lisant tous les messages !
Premier message :

Citation :
Sachant que pour tout nombre réel x on a Arctan'(x) = \frac{1}{x^2+1} on nous propose d'étudier les dérivées successives de (x^2 +1)(Arctan'(x)).

Plus loin :
mathosaurus @ 13-11-2016 à 22:08

Dans mon cours j'ai effectivement une formule qui me donne
2iArctan^{(n)} = \frac{(n-i)!}{(-i-x)^n} - \frac{(n-1)!}{(i-x)^n} c'était le résultat auquel on est parvenu lorsque on a utilisé la méthode des complexes.
Cependant je ne vois pas le lien avec les polynômes que nous avons exploiter précédemment


En ce qui concerne l'identité c'est aussi la somme des termes d'une suite géométrique, étudiée en Terminale :
a^n-b^n=b^n\Bigl(\bigl(\dfrac ab\bigr)^n-1\Bigr)=b^n\bigl(\dfrac ab-1\bigr)\sum_{k=0}^{n-1}\bigl(\dfrac ab\bigr)^k

Posté par
mathosaurusre : Derivée n-ième de Arctan(x) 15-11-16 à 18:14

Bonsoir, grâce à tout vos messages et à des explications annexes j'ai finis par comprendre comment arriver au résultat escompté. Merci à tous pour l'attention que vous m'avez prêté

Bonne soirée à tous et merci !

Posté par
carpediemre : Derivée n-ième de Arctan(x) 15-11-16 à 18:56

de rien


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