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Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x))

Posté par
Mat340 09-10-18 à 21:55

Bonjour,
Je cherche désespérément la dérivée n ieme de exp(sqrt(x)) mais je ne trouve aucune forme récurrente sur les premières dérivées...
Quelqu'un à la solution?

Posté par
larrechre : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 09-10-18 à 22:17

Bonjour,

Quelles sont les premières dérivées calculées ?

Posté par
Mat340re : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 09-10-18 à 22:21

f'(x)=f*(2*sqrt(x))
Puis les autres que j'ai faites à la main mais qui prennent trop de temps à ecrire, je suis allé jusqu'à la 5 mais ça devient compliqué après

Posté par
Mat340re : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 09-10-18 à 22:22

Mat340 @ 09-10-2018 à 22:21

f'(x)=f*(2*sqrt(x))
Puis les autres que j'ai faites à la main mais qui prennent trop de temps à ecrire, je suis allé jusqu'à la 5 mais ça devient compliqué après

Pardon c'est f'(x)=f*1/(2*sqrt(x))

Posté par
larrechre : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 09-10-18 à 22:27

Je suppose que vous voulez dire f'(x)=e^{\sqrt{x}} \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Mais si c'est trop pénible à écrire pour vous, ça l'est encore bien davantage pour moi...

Posté par
Mat340re : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 09-10-18 à 22:29

Certes, mais je les ai sur papier (elles sont verifiees) et ne trouve pas de conjecture, une idee?

Posté par
luzakre : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 09-10-18 à 23:45

Bonsoir !
Moi j'essaierai, pour la dérivée d'ordre n, de voir si ce ne serait pas un produit  e^{\sqrt x}P\bigl(\dfrac1{\sqrt x}\Bigr) où P est un polynôme.

Posté par
carpediemre : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 10-10-18 à 09:45

salut

tout à fait ...

Mat340 @ 09-10-2018 à 22:21

f'(x)=f*(2*sqrt(x))
Puis les autres que j'ai faites à la main mais qui prennent trop de temps à ecrire, je suis allé jusqu'à la 5 mais ça devient compliqué après
l'écriture \sqrt x n'est qu'une écriture .... qui effectivement s'avère "compliqué" à écrire sur un ordi ... ou même sur une feuille ...

avec un peut d'abstraction ben on s'emmerde pas mais on pense et on écrit tout simplement r(x) avec la relation 2r(x)r'(x) = 1

et alors on en vient à dériver f(x) = e^{r(x)}

à partir de la première dérivée il peut alors être intéressant (faut voir) de ne pas considérer le quotient f'(x)=e^{\sqrt{x}} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} toujours pénible à dériver mais le produit 2r(x)f'(x) = f(x) car un produit est tellement plus simple à dériver

et avec un peu plus d'abstraction on s'emmerde moins en n'écrivant même plus la variable 2rf' = f

maintenant faut voir si ce "nouveau symbolisme" simplifie le calcul et l'écriture pour l'obtention du résultat demandé ...

en dérivant une ou deux fois et en regardant ce qui se passe ...

dans tous les cas on en reviendra à la relation donnée par luzak mais dont le calcul sera autrement facilité par le symbolisme choisi

ce ne sont pas les symboles qui comptent c'est ce qu'ils permettent de faire qui comptent ...

Posté par
carpediemre : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 10-10-18 à 09:49

et pour affiner le msg de luzak je dirai même qu'on a : 2 \sqrt x f^{(n)}(x) = f(x)P(\sqrt x)

Posté par
carpediemre : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 10-10-18 à 09:50

et en dérivant cette relation on peut peut-être faire apparaître un procédé de construction récurrent et simple ....

Posté par
interpolre : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 10-10-18 à 10:38

Bonjour,

Ne faudrait-il pas utiliser la dérivée logarithmique?

f'(x)=-\frac{f(x)}{2}x^{\frac{-1}{2}}

J'avoue n'avoir pas encore creusé,

Alain

Posté par
alb12re : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 10-10-18 à 10:43

salut, consultation facultative

Posté par
luzakre : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 10-10-18 à 12:37

Un "beau" bordel au lieu de dire simplement "polynôme en \dfrac1{\sqrt x} " avec relation de récurrence ultra simple P_{k+1}(X)=\dfrac{X}2\,P_k(X)-\dfrac{X^3}2\,P'_k(X)...

Posté par
carpediemre : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 10-10-18 à 13:19

bon ben j'va aller mangé

Posté par
alb12re : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 10-10-18 à 16:56

encore un fil où le posteur a vachement sué

Posté par
Mat340re : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 10-10-18 à 21:38

Par exemple pour la derivée 4ieme, je tombe sur un:
1/sqrt(x)*(f'''-f''*(1/4x)-f''*(3/8x^1,5)-f'*(15/16x^2,5)
Je vois bien qu'il se passe qqch avec les multiples de 0,5 et que on multiplie par 2 en bas pour passer au terme suivant mais je n'arrive pas à en déduire une forme générale...

Posté par
luzakre : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 10-10-18 à 21:47

J'ai donné plus haut la formule de récurrence.
Vérifie et applique !

Posté par
Mat340re : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 10-10-18 à 21:49

Ah je crois comprendre, j'imagine que
X=1/sqrt(x)?

Posté par
luzakre : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 10-10-18 à 21:58

Quelle imagination !
C'était dit aussi dans un message précédent !

Et pour éviter de nouvelles questions inutiles : f^{(k)}(x)=e^{\sqrt x}\,P_k\Bigl(\dfrac1{\sqrt x}\Bigr)

Posté par
Mat340re : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 10-10-18 à 21:58

C'est catastrophique, je n'arrive vraiment pas à indentifier les Pk, Pk'...

Posté par
luzakre : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 11-10-18 à 08:12

P_0=1 donc f(x)=f^{(0)}(x)=e^{\sqrt x}=e^{\sqrt x}P_0\Bigl(\dfrac1{\sqrt x}\Bigr)
P_1(X)=\dfrac{X}2 donc f'(x)=f^{(1)}(x)=e^{\sqrt x}\dfrac1{2\sqrt x}=e^{\sqrt x}P_1\Bigl(\dfrac1{\sqrt x}\Bigr)
etc...
et, si f^{(k)}(x)=e^{\sqrt x}P_k\Bigl(\dfrac1{\sqrt x}\Bigr) on obtient en dérivant

f^{(k+1)}(x)=e^{\sqrt x}\left(\dfrac1{2\sqrt x}P_k\Bigl(\dfrac1{\sqrt x}\Bigr)+P'_k\Bigl(\dfrac1{\sqrt x}\Bigr)\dfrac{-1}{2x\sqrt x}\right)=e^{\sqrt x}P_{k+1}\Bigl(\dfrac1{\sqrt x}\Bigr)

Posté par
Razesre : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 11-10-18 à 09:50

Bonjour,

On peut aller plus loin:

2P_{k+1}(X)=X\,P_k(X)-X^3\,P'_k(X)

P_0=1; P_1=\frac{1}{2}X; \\ 2P_{2}(X)=X\,P_1(X)-X^3\,P'_k(X)=\frac{1}{2}X^{2}-\frac{1}{2}X^3

2P_{k+1}(X)=X\,P_k(X)-X^3\,P'_k(X)\Rightarrow d°(P_{k+1})=d°(P_{k})+2;k> 1

On peut essayer de déterminer les coefficient du polynôme P_n(X) en partant de :  P_n(X)=\sum_{k=0}^{ 2n+1}a(n)_kx^{k}, peutetre que c'est plus compliqué que ça parait.

Posté par
larrechre : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 11-10-18 à 10:14

Bonjour Razes,

Cela n'avance peut-être pas à grand chose, mais la sommation pour P_n va de k=n à k=2n-1 et, sauf erreur,

a_{k+1}(n+1)=a_ k(n)-(n+k-1)a_{k-1}(n)

mais pas évident à exploiter

Posté par
carpediemre : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 11-10-18 à 19:31

f(x) = e^{\sqrt x} \iff f(x^2) = e^x \\ \\ 2xf'(x^2) = e^x \\ \\ 2f'(x^2) + 4x^2f''(x^2) = e^x \\ \\ ....

peut-être est-ce plus simple ainsi ...

Posté par
luzakre : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 12-10-18 à 08:13

C'est une contrepèterie belge ?
En posant f^{(k)}(x^2)=e^xP_k(1/x) on a la relation de récurrence
P_{k+1}(T)=P_k(T)-T^2P'_k(T)

Posté par
carpediemre : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 12-10-18 à 15:09

le principe d'un changement de variable n'est simplement qu'écrire la même chose sous une forme différente mais plus manipulable et permettant de conclure ...

le classique en est l'écriture factorisée d'une expression développée qui permet alors d'en déterminer le signe ... ce que je ne sais pas faire avec une expression développée ... (sauf cas très particulier bien sur)

je ne fais que proposer cela : éventuellement simplement simplifier les manipulations par un changement de variable

il est bien sur évident que le résultat n'est ne sera pas significativement différent ... mais peut-être les manipulations et son obtention en seront grandement simplifiées ...

Posté par
alb12re : Dérivée n ieme de expliques(sqrt(x)) 12-10-18 à 16:08

salut,

"Je rêve d'un jour où l'égoïsme ne régnera plus dans les sciences, où on s'associera pour étudier, au lieu d'envoyer aux académiciens des plis cachetés, on s'empressera de publier ses moindres observations pour peu qu'elles soient nouvelles, et on ajoutera " je ne sais pas le reste."

Évariste Galois (1811-1832)


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