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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Dérivée partielle

Posté par
mousse42
25-09-20 à 21:55

Bonjour

Voici un exo, et mes justifications sont un peu différentes, et peut être qu'il y a un truc qui m'échappe :

-----------------------------------------------ENONCE--------------------------------------------------------------

f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^2+y^2},\;$ si $ (x,y)\ne (0,0) et f(0,0)=0

Question n°1

La fonction f est-elle continue sur \R^2

Question n°2

Calculer les dérivées partielles en tout point (x,y)\ne (0,0) et ensuite en (x,y)=(0,0)
_______________________________________________________________________________________________

Pour la continuité le cas critique est (0,0):

\large\left|\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\le \dfrac{||(x,y)||_2^2||(x,y)||_2}{||(x,y)||_2^2}=||(x,y)||_2\underset{\substack{(x,y)\to(0,0)&(x,y)\ne (0,0)}}{\longrightarrow}0

Pas besoin de transformation en coordonnées polaires, non?

Pour la dérivée partielle par rapport à x (je ne traite pas le cas de la dérivée partielle par rapport à y)

La fonction x\mapsto f(x,y) est dérivable sur (\R^2)^* et on a f_x'(x,y)=\dfrac{2xy^3}{(x^2+y^2)^2}

Pour le cas (0,0) je ne vois pas pourquoi que le cours insiste pour revenir à la définition de la dérivée, alors que :


f_x'(x,0)=0\underset{\substack{x\to 0&x\ne 0}}{\longrightarrow}0


C'est suffisant pour dire que f_x' est bien définie sur \R^2, non?

Posté par
mousse42
re : Dérivée partielle 25-09-20 à 23:02

ok, je viens de voir mon erreur. ne pas tenir compte de mon message

Posté par
malou Webmaster
re : Dérivée partielle 26-09-20 à 08:05

Bonjour mousse42
OK, j'y réponds pour le faire sortir des "non répondus"
Bonne journée

Posté par
mousse42
re : Dérivée partielle 26-09-20 à 09:25

Bonjour malou et merci

Posté par
luzak
re : Dérivée partielle 26-09-20 à 09:29

Bonjour !
Je n'aime pas ton  (\R^2)^*  !
\R^2 n'est pas un corps ou anneau (à moins de préciser) et en tant qu'espace vectoriel, sans autre précision, ta notation indique le dual...

Posté par
carpediem
re : Dérivée partielle 26-09-20 à 14:23

salut

et ce serait plutôt (\R^*)^2 ....

Posté par
mousse42
re : Dérivée partielle 26-09-20 à 14:42

non

Posté par
Foxdevil
re : Dérivée partielle 26-09-20 à 15:44

Hello,

carpediem @ 26-09-2020 à 14:23

salut

et ce serait plutôt (\R^*)^2 ....
Sauf erreur de ma part, les couples (0,y), (y \neq 0) et (x,0), (x \neq 0)  conviennent...

Posté par
carpediem
re : Dérivée partielle 26-09-20 à 16:19

oui je sais ...

ma réponse était plus dans l'idée de la remarque de luzak bien que maladroite ...

Posté par
Foxdevil
re : Dérivée partielle 26-09-20 à 16:29

luzak @ 26-09-2020 à 09:29

Bonjour !
Je n'aime pas ton  (\R^2)^*  !
\R^2 n'est pas un corps ou anneau (à moins de préciser) et en tant qu'espace vectoriel, sans autre précision, ta notation indique le dual...
Après, on peut jouer la carte mauvaise foi en disant que c'est un corps avec la multiplication (a,b)*(x,y)=(ax-by,ay+bx)



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