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Dérivée successives

Posté par
Pmk
13-07-19 à 13:18

Bonjour.
Déterminer par récurrence la dérivée d'ordre n de f(x)=1/x.

Pour cela, j'ai calculé la dérivée d'ordre 1,2,3et4 .pour conjecturer j'ai eu f^(n)(x) = ((-1)^(n) *n !) /(x^(n+1))
Pour la démonstration par récurrence
Supposons pour k≥4,f^(k) (x) =((-1)^(k) *k !) /(x^(n+1)).
Montrons  f^(k+1)(x).
f^(k+1) (x) =((-1)^(k+1) *(k+1)!) /(x^(k+2)).
Est-ce que cela suffit pour conclure ?
Bonne journée à tous

Posté par
Jezebeth
re : Dérivée successives 13-07-19 à 13:38

Bonjour

Attention, lorsque vous dérivez, vous dérivez toujours sur (au moins) un voisinage. Dans la démonstration x ne peut donc pas être fixé ; dans votre hypothèse de récurrence doit donc apparaître un "pour tout x dans...". (à préciser)
Ensuite, il faudrait un peu détailler comme vous obtenez le résultat sinon ça ne sert pas à grand-chose de rédiger tout cela.

Posté par
carpediem
re : Dérivée successives 13-07-19 à 14:29

salut

et la formule f^{(n)} (x) = \dfrac {(-1)^n n!} {x^{n + 1}} est valable pour tout entier n ... alors pourquoi commencer à k >= 4 ?

Posté par
Pmk
re : Dérivée successives 13-07-19 à 17:01

Jezebeth @ 13-07-2019 à 13:38

Bonjour

Attention, lorsque vous dérivez, vous dérivez toujours sur (au moins) un voisinage. Dans la démonstration x ne peut donc pas être fixé ; dans votre hypothèse de récurrence doit donc apparaître un "pour tout x dans...". (à préciser)
Ensuite, il faudrait un peu détailler comme vous obtenez le résultat sinon ça ne sert pas à grand-chose de rédiger tout cela.

Di j'ai bien compris donc je dois dire "pour tout x dans R*"?

Posté par
LeMacaron
re : Dérivée successives 13-07-19 à 18:39

Bonjour. Tu ne le sais peut-être pas mais on adopte parfois la convention que f^{(0)} = f. Donc on peut très bien initialiser ta formule au rang n=0. Il te faut donc montrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a, pour tout réel x non nul, f^{(n)}(x)= (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}}.

L'initialisation ne pose aucun problème. Quant à l'hérédité, il suffit de montrer que, pour tout x\ne 0, on a (f^n(x))'=f^{(n+1)}(x).

Bon travail

Posté par
carpediem
re : Dérivée successives 13-07-19 à 21:11

LeMacaron @ 13-07-2019 à 18:39

L'initialisation ne pose aucun problème. Quant à l'hérédité, il suffit de montrer que, pour tout x\ne 0, on a \red (f^{(n)}(x))' = f^{(n + 1)}(x).
c'est une tautologie ...

Posté par
LeMacaron
re : Dérivée successives 14-07-19 à 00:49

Oui, j'ai vu ça après, mais on ne peut modifier son message... J'aurais dû dire qu'il faut vérifier que si l'on dérive la fonction x \mapsto (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}}, on obtient bien la fonction x \mapsto (-1)^{n+1} \frac{(n+1)!}{x^{n+2}}.

Posté par
Jezebeth
re : Dérivée successives 14-07-19 à 15:43

LeMacaron @ 14-07-2019 à 00:49

Oui, j'ai vu ça après, mais on ne peut modifier son message... J'aurais dû dire qu'il faut vérifier que si l'on dérive la fonction x \mapsto (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}}, on obtient bien la fonction x \mapsto (-1)^{n+1} \frac{(n+1)!}{x^{n+2}}.



ce qui est tout aussi tautologique si on sait dériver des fonctions usuelles !

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