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Dérivée symétrique PREPA
Soit f une fonction de dans
.
On appelle dérivée symétrique de en
la limite -si elle existe- de
quand
.
On note .
1.) Etudier l'existence d'une dérivée symétrique pour la fonction
pas de probleme:
2.) Montrer que si f admet en une dérivée à droite et une dérivée à gauche alors elle admet en ce point une dérivée symétrique.
3.)On considère la fonction f
pour
différent de
.
Montrer que admet en
une dérivée symétrique alors qu'elle n'admet ni dérivée a droite, ni dérivée a gauche.
4.) Montrer que si f est croissante sur et admet une dérivée symétrique, cette dérivée est positive.
5.) Montrer que si et
sont continues en
et admettent en ce point des dérivées symétriques, alors
et
ont aussi des dérivées symétriques en
. On pourra utiliser les DL d'ordre 1 en
.
Voila j'ai cet exercice à faire.
Merci de vos conseils et de votre aide.
En fait je bloque à la deuxieme question. J'ai fais la première qui est simple. On trouve 0 pour la dérivée symétrique. Mais je n'ai pas d'idée pour montrer la deuxieme question. Merci
Salut,
Voici la réounse du 2)
(f(x0+h)-(f(x0-h))/(2h)
=(f(x0+h)-f(x0)+f(x0)-(f(x0-h))/(2h)
=1/2(f(x0+h)-(f(x0))/h + 1/2(f(x0-h)-(f(x0))/(-h)
Puisque f admet une dérivée à droite et à gauche en x0, alors :
lim(h->0)(f(x0+h)-(f(x0))/h = 0
lim(h->0)(f(x0-h)-(f(x0))/(-h) = 0
D'où:
lim(h->0)(f(x0+h)-(f(x0-h))/(2h) = 0
Par suite f admet une dérivée symétrique en x0
Voilà...............
okay merci, donc la dérivée a gauche est la lim(h->0)(f(x0+h)-(f(x0))/h = 0 et la dérivée a droite est la lim(h->0)(f(x0-h)-(f(x0))/(-h) = 0 ??
Je ne connaissais pas ces formules en fait.
Si j'utilise ces formules pour caculer la dérivée a gauche et a droite de la question 3, je trouve lim x/sin(x). Cette limite est connue, elle est égale a 0. Or d'après l'énoncé je ne dois pas trouver de dérivé a gauche et à droite.
Savez vous d'ou vient mon erreur..
Merci
Salut,
f est dérivable à droite de x0 si lim(h->0,h>0)(f(x0+h)-f(x0))/h
f est dérivable à gauche de x0 si lim(h->0,h<0)(f(x0+h)-f(x0))/h
ou lim(h->0,h>0)(f(x0-h)-f(x0))/(-h)
3)Avec f(x)=x.sin(1/x) on obtient :
lim(h->0,h<0)(f(0+h)-f(0))/h
=lim(h->0,h<0)(h.sin(1/h)-0)/h
=lim(h->0,h<0)(sin(1/h))
Cette limite n'existe pas car "sin" est bornée !
De même pour lim(h->0,h>0)(f(0+h)-f(0))/h ...
Une remarque : lim(x->0)(x/sin(x))=1
Voià ........................
ok merci. En effet sans ces formules je ne pouvais parvenir a rien. Pour la question 4.) que représente la dérivée symétrique de f par rapport a la dérivée normale de f? Puis je utiliser le fait que si une dérivée symétrique est positive, alors la fonction est croissante tout comme on fait pour une dérivée normale? Si oui, ça me parait bien simple..
Merci
Salut,
En fait la dérivée symétrique est une approximation de la dérivée.
Elle est utilisée par exemple en sciences physiques pour calculer la vitesse instantanée (dérivée de la loi horaire)
La dérivée symétrique est donc géométriquement la pente de la corde "au plus près" du point
La dérive (classique) est bien sûr la pente de la tangente en ce point
Le lien mathématique entre les 2 dérivées est le théorème des accroissements finis.
C'est ce théorème qui est la clé de la question 4)
Voilà.............
oulala, j'ai bien appris le théorème des accroissements finis, mais je ne vois pas comment il me permet de montrer que si f est croissante sur [a;b] et admet une dérivée symétrique, alors cette dérivée est positive..
Merci de votre aide
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