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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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dérivées partielles

Posté par
RiemanB
28-03-21 à 12:18

Bonjour,

J'ai un exo applicatif mais j'aimerais savoir si cela vous semble correct.

Soit g application de R² dans R, si (x,y)/=(0,0) g(x,y)=y^3/(x²+y²) sinon g(0,0)=0.

a) g n'est pas différentiable en 0,0(pas continuité en 0,0).
b)g/x (0,0)=0. g/x (x,y) n'est pas continue en (0,0) en prenant x=y.
c)g/y (0,0)=0. g/y (x,y) n'est pas continue en (0,0) en prenant x=y

Posté par
carpediem
re : dérivées partielles 28-03-21 à 13:19

salut

ben ce qui serait bien c'est de donner l'énoncé exact et complet au mot près ... puis ensuite tes réponses ...

ensuite tu nous balances des affirmations ...

ok elles sont peut-être vraies ... mais je ne vais pas fair moi-même l'exercice pour vérifier si tel est le cas ...

en particulier il serait bien de nous donner les dérivées partielles ...

enfin g(x, y) = y^3/(x^2 + y^2) < y^3/y^2 = y ...

ce qui prouve clairement que g est continue en (0, 0) ...

Posté par
RiemanB
re : dérivées partielles 28-03-21 à 13:32

Désolé, j'étais persuadé d'avoir écrit mes dérivées partielles.

g/x (x,y)=-y^3(2x)/(x²+y²)²

g/y (x,y)=3y²(x²+y²)-y^3(2y)/(x²+y²)²




Posté par
RiemanB
re : dérivées partielles 28-03-21 à 13:55

Question a : montrer que g n'est pas différentiable (je vais utiliser la dérivée directionnelle)
Question b:la dérivée partielle par rapport à x est-elle continue en 0
Question c: la dérivée partielle par rapport à y est-elle continue en 0

Posté par
carpediem
re : dérivées partielles 28-03-21 à 14:00

simplifie les dérivées partielles ... et détaille nous les trois réponses ...

Posté par
RiemanB
re : dérivées partielles 28-03-21 à 15:15

Dgh,k(0,0)=limt0 g(th,tk)/t=k^3/(h²+k²) j'ai cherché dans mon cours mais je ne trouve pas comment à partir de ce résultat dire que g est non différentiable en 0,0 (bien que j'ai souvenir d'avoir déjà entendu quelque part une relation entre dérivée directionnelle et différentiabilité).

b)lim en (0,0) -y^3(2x)/(x²+y²)²=-1=/0

c)lim en (0,0) 3y²(x²+y²)-y^3(2y)/(x²+y²)²=1=/0

Posté par
RiemanB
re : dérivées partielles 28-03-21 à 15:16

c) Simplification : 3y²x²+y^4/(x²+y²)²

Posté par
RiemanB
re : dérivées partielles 28-03-21 à 16:19

a)Peut-être le fait que si (h,k)=(0,0) alors il n'y a pas de dérivée directionnelle dans cette direction

Posté par
carpediem
re : dérivées partielles 28-03-21 à 19:24

c'est ici que je te demandais de simplifier (ce qui est en rouge) :

RiemanB @ 28-03-2021 à 13:32

Désolé, j'étais persuadé d'avoir écrit mes dérivées partielles.

u(x, y) = g/x (x,y)=-y^3(2x)/(x²+y²)²

v(x, y) = g/y (x,y)=3y²(x²+y²)-y^3(2y)/(x²+y²)²


que valent u(x, x), u(x, 2x) et u(2x, x) ?

idem pour v ...

Posté par
RiemanB
re : dérivées partielles 28-03-21 à 21:14

Oui c'est vrai en 0,0 lim u(x,y)=-1/2.

Le raisonnement avec la dérivée directionnelle est juste?

Posté par
carpediem
re : dérivées partielles 28-03-21 à 22:33

je ne comprends pas ce que signifie la première phrase ...

as-tu fait les calculs demandés ?
quel est le but de ces calculs ?



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