Personne?

Bonsoir!

Bon je suis en SUP donc peut être que mon aide ne sera pas pertinente mais comme je suis sur ce chapitre en ce moment, il pourrait être intéressant de réfléchir à tout ça. Pour étudier la continuité pourrait-on déjà montrer que la limite du taux d'accroissement en 0 à gauche est égale à celle à droite ?

Bonsoir . Il faudrait déjà savoir si c'est

f(x,y)= e^xy-1/y si y0  ou bien

f(x,y)= (e^xy-1)/y si y0

Oui désolé c'est la deuxième expression

Oui, tout le problème est en (0,0).

Commencer par regarder la continuité en ce point.

Puis  calculer, si elles existent,  les dérivées premières et secondes en ce même point (en calculant les taux d'accroissements).

Voir ensuite  si ces dérivées sont continues.

Pour obtenir des réponses, il faut que vous fassiez des propositions.

Oui bien sûr j'ai des idées mais qui n'aboutissent pas.
On pourra d'abord considérer la fonction g(t)=(e^t-1)/t dérivable en 0 de dérivée 1
Et donc pour x dans R, on a f(x,y)=(e^xt-1)/t de limite x*g'(0)=x: on a bien la continuité de f
Mais ensuite pour la continuité de la dérivée n-ième, on pose t=xy et donc pour tout (x,y) de R² \{(0,0)}, on a
f(x,y)=xg(xy)
avec pour tout (x,y) dans R², l(x,y)=xy bilinéaire donc continue, u(x,y)=x continue, et il s'agirait seulement d'etudier g et de montrer qu'elle est de classe Cⁿ et pas composition puis produit de fonctions de classe Cⁿ sur R², on aurait f de classe Cⁿ.
Est-ce une bonne piste ou ue fais n'iMporte quoi?

On a effectivement la continuité de f,  y compris en (0,0), Mais il faut voir que pour cette limite, x et y tendent vers 0 indépendamment l'un de l'autre. Le numérateur est alors équivalent au produit xy.

Avant de me préoccuper des dérivées d'ordre n, je regarderais ce qu'il en est déjà des dérivées partielles premières.

Bonjour ,

juste une piste

il n'est pas difficile de voir que la fonction est indéfiniment dérivable sur

par exemple comme somme d'une série entière de rayon de convergence .

remarquer ensuite qu'on a pour tout couple de . _{sauf erreur bien entendu}

Oui en effet c'est ce que j'ai voulu faire mais pour justifer que f est Cⁿ il faut justifier que l'application h(x,y)=xy est Cⁿ sur R² non?

Oui, mais ça c'est immédiat

Oui je pensais qu'une démonstration était de rigueur mais on peut s'en passer c'est vrai bon ensuite pour les dérivées partielles en x et y  je dois seulement étudier la limite du taux d'accroissement en fixant x=0?

Si vous avez montré que les dérivées partielles sont continues vous pouvez directement raisonner à partir de celles-ci...

Pas la peine il suffit de dériver partiellement l'expression


ce qui donne et donc


puis et donc

puis et donc


puis et donc


puis et donc _{sauf erreur bien entendu}

C'est clairement expéditif quand on réfléchit un tant soit peu.. merci beaucoup pour votre aide et votre attention