Bonsoir milkyway et excellent année à toi.

Pour montrer que f est différentiable sur , on s'assure que les DP existent en tout point de et qu'en tout point, au moins l'une des deux est continue.
Si en plus les deux sont continues en tout point, alors f est sur .

j ai l'exemple de de la norme euclidienne N =(x²+y²)

la dérivée partielle première de N par rapport à x  N/x = x/(x²+y²)
est  clairement continue ur ²/ {(0,0)] et donc différentiable sur  ²/ {(0,0)}
N/x = x/(x²+y²)

Mais il faut vérifier si N est différentiable en (0,0): N/x (0,0)= lim _h0 (N(h,0) - N(0,0))/h  n a pas de limite en pour h0

et donc a ce stade N n'est pas différentiable en (0,0)

mais si dans le cas ou N/(0,0) acceptait une limite quand h0 , aurait il fallu verifier la continuité de N en (0,0)?
Merci

Dans ton exemple, clairement, la norme euclidienne est sur .
Si tu veux vérifier ce qui se passe sur , il te suffit de regarder si les deux  dérivées partielles existent en (0,0) et si l'une des deux est continues en (0,0).

Or ce n'est pas vrai.

: ce rapport n'a pas de limite pour h vers 0.

N n'est donc pas différentiable sur .

Voici un autre exemple pour que tu saisisses : avec

Quid de la différentiabilité de f ?

Quid de son caractère ?

On se la refait :

avec

Quid de la différentiabilité de f ?

Quid de son caractère ?

Ceci dit, tu peux étudier les deux ... ça fera un bon exercice

je le ferai et de donnerai ce qu je trouve plus tard
a+

f( x,y ) = x (sin y / y)  avec f(x , 0 ) = 0

* f est de classe C¹  sur * f est différentiable sur cet ensemble

* il faut montrer la différentiabilité en  un point quelconque du type ( a, 0 )
je trouve
f/x (a,0) = 0     et    f/x (x,y)= sin y /y  y0
f/y (a,0) = lim_t0 a /t =  + si t 0⁺  ou - si  t 0^-

et donc f n'est pas différentiable en un point quelconque (a,0)

Il faut que tu distingues deux cas : a = 0 et a 0. Mais d'ores et déjà dans les deux cas on a .

1/ a 0

Il faut calculer à la main pour qui explose pour h vers 0.

Par suite n'existe pas.

2/ a = 0

Pour : là, c'est clair on a

Par suite, f est différentiable en (0,0) et la différentielle est l'application linéaire nulle.

Mais f n'est pas C¹ au voisinage de (0,0).

bonjour jsvdb,

la différentielle de f en (0,0) est df_(0,0): (h,k) 0
mais est ce suffisant pour prouver la différentiabilité de f ?
Ne doit on pas poursuivre en vérifiant que

Lim 1 / II(h,k)II [f(x_o + h, y_o +k) - f(x_o , y_o) - df(x_o,y_o).(h,k)] = (h,k)

tende vers 0 quand (h,k)(0,0)

en posant h = k  obtient  :          sin k / (2 IkI ) = (h,k)
en passant à la limite (k0)

(h,k) = +/- 1/2 est donc  f n'est pas différentiable!
merci

Erratum : c'est pour que l'on a

Effectivement, je m'étais trompé de fonction, c'est pourquoi j'avais fait cette petite rectif :

jsvdb @ 10-01-2017 à 15:00

On se la refait :

avec

Quid de la différentiabilité de f ? Quid de son caractère ?