Bonjour nininette

1) Etablis une relation de récurrence entre , et afin d'avoir une relation entre les coefficients dominants.

2) Utilise le théorème de prolongement des fonctions de classe .
3) Utilise la formule de Leibniz.

Kaiser

Merci Kaiser

Je l'ai la relation entre P_n+1,P_n et P_n+1'
P_n+1=x²P_n'+(1-2x*n)P_n
Mais je ne vois pas quoi en faire... en fait c'est le coefficient précédent multiplié par (x²-2nx) non ? mais il doit falloir faire une ptite récurrence à cause du n

Sinon pour les autres question je vais tenter gras à tes indications.

est de degré n.
est de degré n-1, donc est de degré n-1-1+2=n (on enlève 1 à cause de la dérivation et on rajoute 2 à cause de x²) et est de degré n.
Il suffit alors d'indentifier les coefficents de degré n.

Oui, j'avais fait exactement ça.
Et j'ai voulu simplifier mais en vain

et justement, comment identifier les coefficients ?
Parce qu'ils dépendent du début, et on les multiplie à chaque fois par 1-2n
je me trompe ?

Es-tu sûre que c'est bien 1-2n ?

Pourrais-tu détailler ton raisonnement ? (si on note le coefficient dominant , quel est celui de ?)

Kaiser

Soit a_n le coefficient dominant de Pn
Alors celui de Pn' est (n-1)*a_n
(je viens de voir que j'avais fait une faute)

Donc ca nous fait a_n+1=a_n(n-1) + a_n(-2n) = a_n (-1-3n)...?
Ca me parait bizarre... mais je vois pas d'erreur cette fois !

Sinon pour Leibniz ça devrait aller j'espère mais on n'a pas parlé du prolongement des fonctions de classe Cⁿ ! Et je ne vois pas du tout

Merci beaucoup

Houla non ca fait a_n(-1-n) !

Tu t'es trompée.
.

Je vois que tu t'es corrigée toute seule !

Maintenant, que peux-tu en déduire ? C'est quoi en fonction de n ?

Comme une idiote j'y arrive pas alors que ca parait évident...

a1 = -a0
a2 = -2a1 = 2a0
a3 = -3a2 = - 6a0

donc je dirai (-1) n! a0

oui ?

c'est plutôt (mais je pense que c'était une faute de frappe).
Combien vaut ?

Oui c'était une faute de frappe en effet

et a0 vaut 1 logiquement !
merci Kaiser !

tu peux pas me donner une tite indic pour la classe Cn ?

Mais je t'en prie !

Comme tu ne me l'a pas demandé, je suppose (et j'espère) que tu as vu le théorème de prolongement des fonctions de classe . Dans ce cas, que dit ce théorème ? (ma foi très utile !!)

Kaiser

Je voulais bien sur dire "de classe ".

non, pas à ma connaissance...
j'ai bien regardé mon cours mais... y'a pas !

On va procéder autrement :

première étape : montre que .
Deuxième étape : montre par récurrence sur n que est dérivable en 0 et que

Kaiser

je vais tout de même t'énoncer le théorème dont je t'ai parlé tout à l'heure :

soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un élément de I.
On suppose que f est de classe sur et que pour tout k compris entre 1 et n, .
Alors f est de classe sur I et pour tout k compris entre 1 et n.

On ne sait jamais : peut-être que vous l'avez vu sous un autre nom !

Kaiser

Merci Kaiser,

Désolée j'ai été longue à répondre car je n'étais pas chez moi,j'avais juste eu le temps de lire votre message.
Me voici rentrée...
J'ai tenté dans le train mais je n'ai pas réussi cette démonstration par récurrence...

première étape pas de souci, mais la 2ème si !

et ce théorème nous ne le connaissions pas !

Je t'en prie !

Finalement, il n'y a pas besoin d'une récurrence.
En fait, il faut simplement étudier la limite du taux d'accroissement en 0 et montrer qu'elle est nulle.

Kaiser

Merci Kaiser !

Une dernière petite question
"en déduire une relation entre Pn+1,Pn et Pn-1"
Je ne vois pas le rapport avec celui entre f et f' !

Quelle relation sans dénominateur as-tu trouvé entre f et f' ?

f=f' *x²

Maintenant, calcule la dérivée n-ième de chacun de ces termes en utilisant la formule de Leibniz pour celui de droite (pour celui de gauche, tu sais déjà ce que ça fait).