Bonjour je voulais savoir comment deriver une application sous cette forme :
O= x dxdz -t dxdz + z dxdy.
Est ce que dydz=dx??
Merci d'avance pour vos infos, cdlt.
Bonjour,
Alors merci pour cette info mais du coup j'ai d'autres questions.
C'est du a quoi que l'on obtient une 3 forme ? Et le A représente quoi ici? En fait on nous a donné la réponse mais on nous a pas du tout expliqué d'où elle venait et comment refaire avec une autre fonction, ici je sais que ça vaut 3 dxdydz mais je ne sais pas d'où provient le 3, ni comment ça se fait qu'on est dxdydz...
On va faire un petit rappel sur les formes différentielles sur .
Par définition, on appelle forme différentielle de degré 0 sur , toute application .
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Par définition, on appelle forme différentielle de degré 1, ou 1-forme sur , toute application .
Soit donc une 1-forme sur . D'après la définition, il existe trois fonctions (autrement dit, trois formes différentielles de degré 0) telles que :
Ainsi, l'ensemble des formes différentielles sur est un module sur l'anneau des applications réelles sur
On note les formes différentielles telles que :
Autrement dit, ces trois formes différentielles sont constantes et ne sont ni plus ni moins que les applications ième coordonnées.
Ainsi, on peut écrire
Exemple : si est un application différentiable, alors sa différentielle est une forme différentielle notée Df, donnée par
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Par définition, on appelle forme différentielle de degré 2, ou 2-forme sur , toute application .
On peut montrer qu'on obtient toutes les 2-formes sur par antisymétrisation des formes et .
Ceci nous conduit à définir, par exemple de la façon suivante (qui n'est pas sans rappeler la formule du déterminant)
On a alors
D'où le fameux
Alors on définit de même selon le même principe.
Et toujours selon ce principe, on a
En résumé, si est une 2-forme sur alors il existe trois fonctions telles que :
On définit alors la multiplication extérieure entre 1-formes par :
comme étant la 2-forme :
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Par définition, on appelle forme différentielle de degré 3, ou 3-forme sur , toute application .
On peut montrer qu'on obtient toutes les 3-formes sur par antisymétrisation des formes et et cette fois avec des déterminant d'ordre 3.
Toute 3-forme sur est de la forme avec .
On définit aisément la multiplication extérieure d'une 0-forme par une 3-forme, d'une 1-forme par une 2-forme et d'une 2-forme par une 1-forme donc le résultat est une 3-forme.
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Dérivée extérieure d'une forme différentielle :
Si est une 0-forme sur , alors est une application et si cette application est continument différentiable, on définit :
qui est une 1-forme.
Si est une 1-forme sur , alors :
et si les applications , vues comme des 0-formes, sont continument différentiables, on définit :
qui est une 2-forme.
Si est une 2-forme sur , alors :
et si les applications , vues comme des 0-formes, sont continument différentiables, on définit :
qui est une 3-forme.
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Exemples :
1- Celui de ce post que je reformule :
est une 2-forme et si on la dérive selon le schéma ci-dessus, on obtient :
2-
3- On a
4- Si f est deux fois continument différentiables sur alors en tant que 2-forme : pourquoi ?
Que dire... Vraiment merci merci de ton aide jsvdb C'est exactement ce qu'il me manquait pour bien tout comprendre, magnifiquement bien expliqué et bien rédigé, je suis complément épaté par ta gentillesse dans ce long post j'ai même pas une seule question de plus à te demander... Et j'espère que ce post sera vu par d'autres élèves parce qu'il est génial!
Trois applications classiques :
I - Le rotationnel
Soit un champ de vecteur. On a où chacune des .
On note la 1-forme correspondante :
On appelle rotationnel de le champ de vecteur associé à la 2-forme . Il vient :
On a alors :
Et voici le théorème que tout étudiant en physique applique sans le savoir :
Avec les mêmes notations, les deux conditions suivantes sont équivalentes si on se place dans .
(a) est le gradient d'une fonction continument différentiable dans .
(b) .
ATTENTION : si on ne se place pas dans mais sur un ouvert U de , ce théorème peut être mis en défaut. Néanmoins, on a toujours . La réciproque ne sera vraie que moyennant une condition de contractilité de U.
II - la divergence
Avec les mêmes notations :
On note la 2-forme suivante .
On appelle divergence de la fonction dans associée à la 3-forme . Il vient :
Et le théorème correspondant dans
est le rotationnel d'un champ de vecteurs deux fois continument dérivable dans si et seulement si
ATTENTION : si on ne se place pas dans mais sur un ouvert U de , ce théorème peut être mis en défaut. Néanmoins, on a toujours la condition nécessaire. La réciproque ne sera vraie que moyennant une condition de contractilité de U.
Lorsqu'un champ de vecteur peut se mettre sous la forme où est un autre champ de vecteur, on dit que dérive d'un potentiel .
A noter que n'est pas déterminé de manière unique et peut être remplacé (exercice) par où est une fonction deux fois continûment différentiable.
Exercices : calculer, si les expression ont un sens
1-
2-
III - La formule de Stokes
La fameuse formule de Stokes, que je vais mettre dans avec des boules compactes :
Si est la boule unité fermée orientée de , alors c'est une sous-variété de dimension 3 de , on note son bord orienté.
soit alors une forme différentielle de degré 2, continument différentiable sur un voisinage ouvert de .
La formule de Stokes nous dit :
Et la même formule de Stokes dans est la classique . Ce qui requiert donc que soit
Ce qui signifie que Stokes est une généralisation de Riemann où l'on n'intègre pas des fonctions mais des formes différentielles.
Dans le cas mono-dimensionnel : (degré 1) et (degré 0).
C'est de là que vient le "dx" dans l'intégrale de Riemann (si x est la "variable d'intégration"), et qu'on écrit toujours sans savoir d'où ça vient.
Et quand on demande qu'est-ce-que ce dx, on a la plupart du temps des explications physiques de type variation infinitésimale de ceci cela ... il y a même de très belles vidéos sur internet pour l'expliquer. Je n'ai rien contre, c'est bien pour goûter certaines belles choses, mais ça ne fait pas un solide fondement mathématique. Bref ! tout un débat !
J'ai même eu droit à un "c'est la tradition, c'est comme ça" ... bon ! pourquoi pas !
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