Bonjour

 Cliquez pour afficher

Histoire de commencer à mettre la main à la pâte.
On cherche en fait à démontrer que pour tout entier non nul, il existe deux entiers tels que soit divisible par .
En effet, s'il en est ainsi, alors pour un certain b entier et le nombre sera de la forme cherchée.

Exemples
p = 13. Alors, par le biais d'un petit algorithme que je détaillerai, on a .

donne

On peut combiner les deux avec ce qui donne .

Bien entendu, une fois c(n;k) trouvé, il restera à optimiser le problème pour trouver la plus petite suite de 7/0 possible

oui, c'est une méthode... mais il reste à le démontrer.
personnellement j'ai plus simple pour montrer l'existence.
Il est vrai que le problème est général :
si est un chiffre en base 10 et un entier positif, il existe un multiple de qui s'écrit sous la forme d'une suite de suivie d'une suite de
MM

Et pour k premier > 5,  (k-1) fois x est le plus petit nombre multiple de k qui s'écrit comme une suite de x suivi d'une suite de 0.

Par exemple pour k = 2017 on obtient la plus grande écriture avec k <= 2018 avec 2016 '7'.

je ne vois pas bien ce que tu veux dire littlefox...

n'est déjà pas forcément un multiple de

et pour et , par exemple, qui n'est ni multiple de 13, ni une suite de 7 suivie de 0

Non pas mais avec k-1 fois x .

Avec et par exemple,

Mais ma réponse est quand même fausse, ce n'est pas le plus petit pour 13. En effet

>> littlefox :

 Cliquez pour afficher

et comment tu démontres que le "(k-1) fois x" est toujours un multiple de k ?

J'ai pas de preuve mais c'est vrai pour tous les k premiers 5 < k < 60000 (j'ai testé ).
Attention que k doit être premier, ce n'est pas toujours vrai pour k composé.

On a et donc ça voudrait dire que si est premier.  Et ça c'est le petit théorème de Fermat

> littlefox

d'accord ... etle "/9" ? le thm de Fermat ne démontre pas directement ce que tu affirmes.

et dans ta première formule la puissance est "k-1", pas "k"

enfin bref de toutes façon cela ne résous pas le problème posé...

Merci de Blanker les propositions

@matheuxmatou

 Cliquez pour afficher

Comme ça ne résolvait de toute façon pas le problème mais était plutôt une curiosité de plus, je n'avais pas blanké.

J'affirme que pour premier, le nombre composé de k-1 fois le chiffre est multiple de .

En effet, .
Or, par le petit théorème de Fermat, on a si est premier et ne divise pas . Ce qui exclut 2 et 5 mais est vrai pour tout premier. En effet .
On en déduit donc que est divisible par si et est premier. On doit exclure à cause de la division par 9.
A fortiori,   est divisible par (tout multiple d'un multiple de k est divisible par k).

CQFD

@matheuxmatou

 Cliquez pour afficher

Tant qu'on y est démontrons le problème de base.

J'affirme que pour tout entier , il existe au moins un qui est multiple de .

Par la démonstration précédente on sait que est multiple de si et est premier .

De plus, est multiple de 3, en effet, or est multiple de 3.

On a aussi que est multiple de , en effet qui est entier.

Or tout entier peut s'écrire sous la forme du produit

Et finalement est multiple de . Avec et premier.

CQFD

J'avoue, j'ai pris quelques raccourcis. Notamment pour est multiple de , ( premier) (ça sent bon le totient d'Euler). Mais ça marche .

Je n'ai jamais dit que c'était le plus petit des multiples .

Testé et validé pour 0 < k <= 50000 .

> littlefox

 Cliquez pour afficher

effectivement maintenant oui...
j'ai une solution bcp plus simple et moins calculatoire pour montrer l'existence mais le posterai dans une semaine.
MM

@jsvbd

 Cliquez pour afficher

je pense que dans ton dernier post tu voulais dire "9 ne divise pas k"

reste ceux contenant 2, 3 ou 5 dans la décomposition...

je proposerai en fin de semaine une démo accessible au niveau lycée...

@jsvbd

 Cliquez pour afficher

ah oui pardon, je confondais k et p...

@jsvdb

 Cliquez pour afficher

pas mal ... c'est déjà bien d'avoir une solution !
bon allez je te donne aussi une indication pour la mienne :
"théorème des tiroirs et des chaussettes"

Okay merci matheuxmatou

 Cliquez pour afficher

Je vais y réfléchir.
_{Euh, au fait, ils connaissent ça les tiroirs et les chemises en terminale aujourd'hui ? En seconde ils ont déjà bien du mal avec la règle des signes... Mein Gott !}

A noter quand même, avec le recul, que la solution dite "compliquée" n'est autre qu'une application du théorème d'Euler, que j'ai pu revoir grâce à toi et je t'en remercie.
Il suffit donc d'écrire judicieusement la factorisation du nombre p et la rédaction est faite en une 1/2 page.
Problème sympa : +1 karma.

@jsvdb

 Cliquez pour afficher

au niveau mathématique elle me plait bien ta démo...

je n'avais pas l'idée de voir le problème sous cet angle

cela fait une semaine ... voici ma proposition de solution...

 Cliquez pour afficher

soit N un entier (au moins 2) , par exemple votre année de naissance

divisons les nombres 7 ; 77 ; 777 ; 7777 ; ... par N et considérons les restes

comme seuls N restes sont possibles, au bout d'un moment (au pire au (N+1)-ième nombre) le théorème de tiroirs/ chaussettes agit et deux restes sont identiques.

La différence des deux dividendes concernés (le plus grand moins le plus petit) est donc
un multiple de N et c'est une suite de 7  suivie d'une suite de 0.

Voilà

@matheuxmatou

 Cliquez pour afficher

Nom d'une pipe ! j'étais loin d'imaginer un truc aussi simple. Et en plus c'est rudement efficace.

Vu comme ça, on pourrait multiplier à l'infini de type de problème, du genre il existe un multiple de N qui soit de la forme suivante :
On prend M un entier non nul. Il possède donc chiffres dans sa représentation en base 10. Montrer qu'il existe un entier M' tel que NM' soit de la forme <une suite de M> suivi d'une <suite de "0"> où M'' est un autre entier.

A voir si c'est possible !

Exemple : M = 43, N quelconque, il existe un entier M' tel que NM' = 434343434343....43 suivi d'un nombre pair de "0"

Encore une fois, très, très joli

@ jsvdb

 Cliquez pour afficher

cela m'avait bien amusé aussi... j'adore ces "haha" mathématiques comme les appelait le regretté Martin Gardner.

Effectivement on peut décliner ce problème de pas mal de façons.