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Des boules de toutes les couleurs

Posté par
littleguy
25-03-16 à 18:15

Bonjour,

Une urne contient des boules de plusieurs couleurs, et il y en autant (plus d'une) de chacune des couleurs. On ajoute dans l'urne 15 boules d'une autre couleur que celles déjà utilisées. Ce faisant il se trouve que la probabilité de tirer sans remise deux boules de la même couleur est la même qu'avant l'ajout des 15 boules.

Combien y avait-il de boules au début ?

Même question pour l'ajout de 20 boules au lieu de 15, et même question pour l'ajout de 25 boules au lieu de 15.

Pour chacune des trois questions, on donnera  toutes les solutions s'il y en a plusieurs, et le cas échéant on répondra « problème sans solution » s'il n'y en a aucune.

Posté par
weierstrass
re : Des boules de toutes les couleurs 25-03-16 à 19:05

perduBonjour,
posons n le nombre de couleur, b le nombre de boules de chaque couleur initiale, p le nombre de boule rajoutée.
Notons X_0 l'évenement avant ajout et X_1 après ajout
P(X_0) = \dfrac{1}{n}
P(X_1) = \dfrac{nb}{nb+p}\times \dfrac{b}{nb+p} + \dfrac{p}{nb+p} \times \dfrac{p}{np + p} = \dfrac{nb^2+p^2}{(nb+15)^2}
On a donc \dfrac{1}{n} = \dfrac{nb^2+p^2}{(nb+p)^2} \Leftrightarrow n(p^2 - 2pb) = p^2
Cas 1) p = 15
On cherche n et b entiers non nuls tels que:
n(225 - 30b) = 225
Les diviseurs de 225 sont 1 3 5 9 15 25 45 75 225
Ont obtient alors les couples (n,b) suivants:
(3,5)
(5,6)
(15,15)

Cas 2) p = 20
On obtient lkes couples (n,b) suivants:
(2,5)
(5,8)
(10,9)

Cas 3) p = 25
On obtient les couples (n,b) suivants:
(5,10)
(25,12)

Merci pour cette énigme, en esperant ne pas être aller trop vite.

Posté par
pondy
re : Des boules de toutes les couleurs 25-03-16 à 19:14

perdusalut
En rajoutant 15 boules:
Il y avait 7 couleurs et 7 boules de chaque couleur donc la réponse est 49 boules.

En rajoutant 20 boules:
Il y avait 19 couleurs et 10 boules de chaque couleur donc la réponse est 190 boules.

En rajoutant 25 boules, plusieurs solutions:

Il y avait 2 couleurs et 7 boules de chaque couleur donc la réponse  est 14 boules.
Il y avait 3 couleurs et 9 boules de chaque couleur donc la réponse est 27 boules
Il y avait 4 couleurs et 10 boules de chaque couleur donc la réponse est 40 boules
Il y avait 6 couleurs et 11 boules de chaque couleur donc la réponse est 66 boules

Posté par
pondy
re : Des boules de toutes les couleurs 25-03-16 à 19:18

perdumince, pour le dernier cas, j'ai oublié de recopier une solution
12 couleurs et 12 boules de chaque couleur soit 144 boules
J'ai voulu faire trop vite ...
J'espère au moins que c'est juste  ...

Posté par
masab
re : Des boules de toutes les couleurs 25-03-16 à 19:23

gagnéBonjour littleguy,



Cas où l'on ajoute 15 boules.
1 solution : 7 boules de chaque couleur, 7 couleurs

Cas où l'on ajoute 20 boules.
1 solution : 10 boules de chaque couleur, 19 couleurs

Cas où l'on ajoute 25 boules.
5 solutions :
7 boules de chaque couleur, 2 couleurs
9 boules de chaque couleur, 3 couleurs
10 boules de chaque couleur, 4 couleurs
11 boules de chaque couleur, 6 couleurs
12 boules de chaque couleur, 12 couleurs

Merci pour cette énigme de proba.

Posté par
trapangle
re : Des boules de toutes les couleurs 25-03-16 à 19:48

gagnéBonsoir,

Si on ajoute 15 boules, il y en avait 49 avant l'ajout.
Si on ajoute 20 boules, il y en avait 190 avant l'ajout.
Si on ajoute 25 boules, il y en avait 14, 27, 40, 66 ou 144 avant l'ajout.

Merci, bonne soirée

Posté par
Nofutur2
re : Des boules de toutes les couleurs 25-03-16 à 21:00

gagnéBonjour,
Voila mes réponses ...(en espérant que j'aie bien compris le problème ...)
1. pour un ajout de 15 boules, je trouve qu'il y avait 49 boules au départ (7 boules et 7 couleurs)
2. pour un ajout de 20 boules, je trouve qu'il y avait 190 boules au départ (10 boules et 19 couleurs)
3. pour un ajout de 25 boules, il y a  5 solutions
Je trouve qu'il y avait 14 boules au départ (7 boules et 2 couleurs), 27 boules au départ (9 boules et 3 couleurs), 40 boules au départ (10 boules et 4 couleurs), 66 boules au départ (11 boules et 6 couleurs) et 144 boules au départ (12 boules et 12 couleurs)...

Posté par
manitoba
re : Des boules de toutes les couleurs 25-03-16 à 21:11

gagnéBonsoir LittleGuy,


Soit c le nombre de couleurs au départ
et b le nombre de boules par couleur.


Nombre total de boules=b*c



Pour 15: une solution bc=49 avec b=7 et c=7

Pour 20: 1 solution bc=190 avec b=10 et c=19

Pour 25: cinq solutions
bc =14 b=7 et c=2
bc=27 avec b=9 et c=3
bc=40 avec b=10 et c=4
bc=66 avec b=11 et c=6
bc=144 avec b=12 et c=12

Merci pour l'énigme.



Posté par
torio
re : Des boules de toutes les couleurs 25-03-16 à 21:23

gagné
Pour un ajout de 15 boules (une solution):
7 couleurs différentes et  7 boules de chaque soit  49 boules en tout


Pour un ajout de 20 boules (une solution):
19 couleurs différentes et  10 boules de chaque soit  190 boules en tout


Pour un ajout de 25 boules (5 solutions):
2 couleurs différentes et  7 boules de chaque soit  14 boules en tout
3 couleurs différentes et  9 boules de chaque soit  27 boules en tout
4 couleurs différentes et  10 boules de chaque soit  40 boules en tout
6 couleurs différentes et  11 boules de chaque soit  66 boules en tout
12 couleurs différentes et  12 boules de chaque soit  144 boules en tout

Posté par
weierstrass
re : Des boules de toutes les couleurs 25-03-16 à 21:43

perduTirer sans remise, forcément :'(

Posté par
carita
re : Des boules de toutes les couleurs 25-03-16 à 21:56

gagnébonsoir Littleguy !... et merci

je pose
n : le nombre des couleurs      n >1
x : le nombre de boules de chaque couleur (identique pour chaque couleur)     x >1


15 boules : on arrive à la condition :  n(8-x) = 7
7 étant premier, et n>1, la seule valeur possible pour n est 7, et donc 7 aussi pour x

Combien y avait-il de boules au début ?      7 * 7 = 49 boules

----
20 boules : égalité :  n(21-2x) = 19
19 étant premier, et n>1, la seule valeur possible pour n est 19, et donc x=10

Combien y avait-il de boules au début ?      19 * 10 = 190 boules

-----
25 boules : égalité :  n(13-x) = 12
n peut prendre pour valeur les diviseurs de 12, sauf 1.

Combien y avait-il de boules au début ?      
n=2  ==> x =  7            soit 14 boules
n=3  ==> x = 9             soit 27 boules
n=4  ==> x = 10          soit 40 boules
n=6  ==> x = 11          soit 66 boules
n=12  ==> x = 12       soit 144 boules

Posté par
geo3
re : Des boules de toutes les couleurs 25-03-16 à 22:12

gagnéBonsoir
quand on ajoute 15 boules il y a 1 solution  et  49 boules au départ
quand on ajoute  20 boules il y a 1 solution  et 190 boules au départ
quand on ajoute  25 boules il y a   5 solutions et  soit 14 soit 27 soit 40 soit 66 soit  144 boules au départ
A+

Posté par
rschoon
re : Des boules de toutes les couleurs 25-03-16 à 23:08

gagnéBonjour à tous. Je propose:
1) 49 boules
2) 190 boules
3) 14, 27, 40, 66 ou 144 boules

Merci pour l'énigme

Posté par
dpi
re : Des boules de toutes les couleurs 26-03-16 à 10:33

perduBonjour,

Je vais tenter :
Pour un rajout de 15 boules
Au départ 21 boules  :3 de 7 couleurs différentes.
Pour un rajout de  20 boules
Au départ 76 boules :4  de 19 couleurs différentes.
Pour un rajout de  25 boules , je n'ai trouvé aucune solution.

Posté par
derny
re : Des boules de toutes les couleurs 26-03-16 à 12:04

gagnéBonjour
N'ayant pas beaucoup de temps comme d'habitude je n'ai pas vérifié.
Au début il y avait 49 boules.
2e cas : 190 boules
3e cas : 5 solutions :
14, 27, 40, 66 et 144 boules

Posté par
Alexique
re : Des boules de toutes les couleurs 26-03-16 à 15:54

gagnéBonjour,

- pour 15 boules, je propose 49 boules au total au départ
- pour 20 boules, je propose 190 boules au total
- pour 25 boules, il y a plusieurs possibilités : 144,66,40,27 et 14.

Si on note n le nombre de boules de chaque couleur, c le nombre de couleurs différentes au départ et p le paramètre valant 15, 20 ou 25, on a que la probabilité de tirer 2 boules sans remise de même couleur au départ vaut (n-1)/(cn-1). Après l'ajout des p boules, il faut considérer la disjonction "la première boule tirée est de la nouvelle couleur ou non". Si la première boule est de cette nouvelle couleur, on obtient la proba p/(cn+p) et alors la proba conditionnelle d'en tirer une seconde de cette couleur vaut (p-1)/(cn+p-1). Sinon, si on tire une boule d'une couleur de départ, on obtient cn/(cn+p) puis (n-1)/(cn+p-1).

Bref, au final, on obtient l'équation (n-1)/(cn-1)=p(p-1)/(cn+p)(cn+p-1)+cn(n-1)/(cn+p)(cn+p-1) dont on cherche les solutions entières. Un programme pour c entre 1 et 1000 et n entre 1 et 10000 donne les valeurs de nc annoncées. Je n'ai pas montré que c'étaient les seuls solutions (n et c pourraient être plus grand que les valeurs testées, j'espère que dans un souci de réalisme, les valeurs testées sont assez grandes...)

Merci pour l'énigme !

Posté par
royannais
re : Des boules de toutes les couleurs 26-03-16 à 17:53

perduBonjour,

1)probabilité  inchangée si on ajoute 15 boules d'une autre couleur:
   49 boules en 7 couleurs: probabilité 1/8

2) impossible

3) probabilités  inchangées si on ajoute 25 boules d'une autre couleur :
     14 boules en 2 couleurs: probabilité 6/13
      27 boules en 3 couleurs: probabilité 4/13
      40  boules en 4 couleurs: probabilité 3/13
      66   boules en 6 couleurs: probabilité 1/13

Posté par
Alexique
re : Des boules de toutes les couleurs 26-03-16 à 18:48

gagnéEn fait, en simplifiant mon équation, on obtient (avec mes notations) c(2n-1-p)=1-p donc c divise p-1. Les diviseurs de p-1=15-1=14 sont 1,2,7,14 et pour c=7, on obtient n=7 d'où nc=49 et pour les autres valeurs de c, n n'est pas entier. On procède de même pour p-1=20-1=19 de diviseur 1 et 19. c=19 donne n=10 d'où nc=190. Enfin p-1=25-1=24 a pour diviseurs 1,2,3,4,6,8,12,24. c=2 donne n=7 d'où nc=14. c=3 donne n=9 d'où nc=27. c=4 donne n=10 d'où nc=40. c=6 donne n=11 d'où nc=66 et enfin c=12 donne n=12 d'où nc=144. On pouvait donc tout faire à la main et cette fois, on a toutes les solutions. Ma fainéantise ne me quittera jamais

Posté par
royannais
re : Des boules de toutes les couleurs 27-03-16 à 10:45

perduune faute de frappe  :
3)  66   boules en 6 couleurs: probabilité 2/13 et non 1/13

un oubli :
3)  144   boules en 12 couleurs: probabilité 1/13

ça me vaudra un poisson, mais ce n'est pas grave.

Posté par
evariste
re : Des boules de toutes les couleurs 27-03-16 à 11:02

gagnéavec 15 boules, une solution : 49
avec 20 boules, une solution : 190
avec 25 boules , 5 solutions : 14, 27, 40, 66, 144

Posté par
royannais
re : Des boules de toutes les couleurs 28-03-16 à 08:41

perdu
prolongement: (à vérifier)

   il semblerait que si une urne contient n² boules en n couleurs, la probabilité d'en tirer 2 de même couleur p = 1/(n+1) reste inchangée en ajoutant 2n +1 boules d'une autre couleur.

Posté par
veleda
re : Des boules de toutes les couleurs 28-03-16 à 19:16

gagnébonjour,
je ne sais pas pourquoi je 'ai pas réussi   à poster ma réponse,je vois apparaitre en rouge
que je n'y suis pas autorisée
je fais un nouvel essai mais   cette fois je ne retape pas tout

*k est le nombre initial de couleurs dans l'urne
* n le nombre de boules de chacune de ces couleurs
il y a donc initialement   N =  kn  boules dans l'urne

probabilité p1  de sortir deux boules de même couleur en deux tirages  sans remise
p_1=\frac{n-1}{N-1}

*on introduit  x boules d'une même couleur différente  des k couleurs déjà représentées

probabilité  p2 de sortir deux boules de même couleur avec cette nouvelle
composition de l'urne
p_2=\frac{N(n-1)+x(x-1)}{(N+x)(N+x-1)}

p_1=p_2<=> N(2(n-1)-x+1)+n(x-1)=0
p_1=p_2<=>k(2n-x-1)+x-1)=0       (1)

x=15     (1) devient  k(8-n)=7
k est différent de 1 et divise 7 donc k=7 et n=7 => N=49

x=20  (1) devient  k(21-2n)=19)
k est différent de 1 et divise 19=>k=19 et n=10=>N=190

x=25 (1 ) devient   k(13-n)=12
donc
k=12,n=12 N=144
k=6,   n=11 N=66
k=4,  n=10  N=40
k=3,  n=9   N=27
k=2,  n=7   N=14

merci pour ce petit problème

Posté par
vham
re : Des boules de toutes les couleurs 29-03-16 à 17:01

gagnéBonjour,

Si ajout de 15 boules, au départ il y avait 49 boules

Si ajout de 20 boules, au départ il y avait 190 boules

Si ajout de 25 boules, au départ il y avait 14 boules
Si ajout de 25 boules, au départ il y avait 27 boules
Si ajout de 25 boules, au départ il y avait 40 boules
Si ajout de 25 boules, au départ il y avait 66 boules
Si ajout de 25 boules, au départ il y avait 144 boules

Pas d'autre solution.

Posté par
LittleFox
re : Des boules de toutes les couleurs 29-03-16 à 17:32

gagné
Si on rajoute 15 boules et que la probabilité reste la même c'est qu'il y a avait 7 boules pour chacune des 7 couleurs et donc 49 boules.

Si on rajoute 20 boules et que la probabilité reste la même c'est qu'il y a avait 10 boules pour chacune des 19 couleurs et donc 190 boules.

Si on rajoute 25 boules et que la probabilité reste la même, il y avait 14, 27, 40, 66 ou 144 boules réparties comme suis :

Nombre de boulesNombres de boules de chaque couleurNombre de couleurs
1472
2793
40104
66116
1441212


Ce sont les solutions entières de l'équation n = \frac{2+(c-1)*(K+1)}{2c}, n >1, c >1 avec n le nombre de boules de chaque couleur, c le nombre de couleurs et K le nombre de boules ajoutées.

Posté par
LittleFox
re : Des boules de toutes les couleurs 29-03-16 à 17:59

gagné
Petit post scriptum :

C'est plus facile en repartant de l'équation 2cn-cK-c+K-1 = 0 et en isolant c : c = \frac{K-1}{K+1-2n}. On voit directement que 1<n<\frac{K+1}{2}.

Posté par
franz
re : Des boules de toutes les couleurs 01-04-16 à 09:02

gagnéLorsque l'on rajoute 15 boules il y avait 49 boules au début dans l'urne (7 de 7 couleurs distinctes)

Lorsque l'on rajoute 20 boules il y avait 190 boules au début dans l'urne (10 de 19 couleurs distinctes)

Lorsque l'on rajoute 20 boules il y pouvait y avoir  au début dans l'urne
             \red \bullet 14 boules (7 de 2 couleurs)
             \red \bullet 27 boules (9 de 3 couleurs)
             \red \bullet 40 boules (10 de 4 couleurs)
             \red \bullet 66 boules (11 de 6 couleurs)
             \red \bullet 144 boules (12 de 12 couleurs)

Posté par
guervan123
re : Des boules de toutes les couleurs 04-04-16 à 18:35

perdubonjour,

c'est un problème assez compliqué dont j'y ai beaucoup réfléchis.
je pense que

15 boules : 30 boules
20 boules: 20 boules
25 boules : 50 boules
merci pour ce problème.

Posté par
sbarre
re : Des boules de toutes les couleurs 05-04-16 à 20:51

gagnéBonjour,
sauf erreur, en faisant le calcul des différentes proba et en utilisant excel pour trouver les égalités, j'obtiens:
pour ajout de 15 boules, on avait au départ 7 fois 7, soit 49 boules;
pour ajout de 20 boules, on avait au départ 19 fois 10, soit 190 boules;
pour ajout de 25 boules, on avait au départ 2 fois 7, soit 14 boules; ou alors 3 fois 9 soit 27 boules; ou alors 4 fois 10 soit 40 boules; ou alors 6 fois 11 soit 66 boules ou enfin 12 fois 12 soit 144 boules.

Quel que soit le nombre de boules ajoutées on a en général une solution voire un peu plus; étonnamment avec 49 on a 7 solutions et je me suis demandé si l'ajout du carré d'un nombre premier donnait ce nombre de solution...., mais non. C'est juste un hasard pour 25 et 49 à priori.

Merci et à la prochaine....

Posté par
Achdeuzo
re : Des boules de toutes les couleurs 06-04-16 à 16:07

gagnéBonjour

J'ai préféré mettre les résultats dans un tableau pour que ça soit plus lisible (dernière colonne)

J'ai donc trouvé une seule solution pour l'ajout de 15 ou 20 boules, et cinq solutions pour l'ajout de 25 boules.

Merci pour cette énigme ! Toujours aussi

Des boules de toutes les couleurs

Posté par
AllEn
re : Des boules de toutes les couleurs 09-04-16 à 05:49

perduLorsqu'on ajoute 15 boules, il faut 49 boules au départ.
Lorsqu'on ajoute 20 boules, c'est un problème sans solution.
Enfin lorsqu'on ajoute 25 boules, il faut 14, 27, 40, 66 ou 144 boules au départ.

Posté par
Lionelink
re : Des boules de toutes les couleurs 09-04-16 à 05:52

perduI_ Ajout de 15 boules
  Possible pour 49 boules au début ( 7 couleurs)

II_Ajout de 20 boules
  Problème sans solutions

III_Ajout de 25 boules
  Possibles pour 14 boules au début (2 couleurs),  27 boules (3 couleurs), 40 boules (4 couleurs), 66 boules (6 couleurs), 144 boules (12 couleurs)

Posté par
plilvor
re : Des boules de toutes les couleurs 09-04-16 à 15:57

perduBonjour,

Soit  n  le nombre initial de couleurs,   b  le nombre de boules par couleur  et N  le nombre total de boules au début.
soit  c le nombre de boules de la couleur ajoutée (15, 20, 25)

La probabilité P1 (sans la couleur ajoutée) est  
   P1  = (b -1)  /  (nb - 1)

La probabilité P2 (avec la couleur ajoutée) est de
   P2 = ( nb(b -1) + c(c -1))  /  ((nb + c)(nb + c - 1))

P1 = P2   donne   n = (c - 1)  /  (c + 1 - 2b)

soit pour  c = 15   n = 7 /  (8 - b)   =>   1 seule solution :  b = 7  n = 7     N = 49
         pour  c = 20   n = 19 /  (21 - 2b)   => 1 seule solution : b=10   n = 19  N = 190
         pour c = 25    n = 12 /  (13 - b)   =>  4 solutions  b = 7, 9, 11, 12   n  = 2, 3, 6, 12,  
                    et N =  14, 27, 66, 144

En résumé   pour 15  boules    N = 49
                            pour 20  boules    N = 190
                            pour 25 boules     N = 14,  27,  66,  144

Nota on peut aussi considérer que N = infini constitue  une solution

Merci pour cette énigme
        

Posté par
benmagnol
re : Des boules de toutes les couleurs 10-04-16 à 13:42

gagnéBelle enigme en effet.

rajout de 15 boules une solution unique 7 boules et 7 couleurs

rajout de 20 boules une solution unique de 10 boules 19 couleurs

rajout de 25 boules 5 solutions
qui sont
7 boules et 2 couleurs
9 boules et 3 couleurs
10 boules et 4 couleurs
11 boules et 6 couleurs
12 boules et 12 couleurs

Merci pour cette très belle énigme

Posté par
Chatof
re : Des boules de toutes les couleurs 10-04-16 à 18:27

gagnéOn ajoute dans l'urne 15 boules :
Il y avait 49 boules : 7 couleurs de 7 boules

On ajoute dans l'urne 20 boules :
Il y avait 190 boules : 19 couleurs de 10 boules


On ajoute dans l'urne 25 boules :
Il y avait 144 boules : 12 couleurs de 12 boules
ou
Il y avait 66 boules : 6 couleurs de 11 boules
ou
Il y avait  40 boules : 4 couleurs de  10 boules
ou
Il y avait  27 boules : 3 couleurs de    9 boules
ou
Il y avait  14 boules : 2 couleurs de   7 boules

bonjour et merci Littleguy

Posté par
jugo
re : Des boules de toutes les couleurs 11-04-16 à 12:01

gagnéBonjour,

En notant:
c   le nombre initial de couleurs
b   le nombre de boules par couleur
n   le nombre de boules qu'on rajoute

La probabilité de tirer 2 boules de même couleur vaut :
[ nbre de cas avec 2 boules de même couleur ] / [ nbre total de possibilités ]
soit   p(n) = [ b(b-1).c + n(n-1) ]  /  [ (bc+n).(bc+n-1) ]

Avant de rajouter les n boules, la probabilité est   p(0) = (b-1) / (bc-1)

En posant p(n) = p(0), on obtient   b = (n+1)/2 - (n-1)/2c

D'où on tire 1 solution pour n=15 et n=20, et 5 solutions pour n=25 :
- ajout de 15 boules : 49 boules au début
- ajout de 20 boules : 190 boules au début
- ajout de 25 boules : 14 ou 27 ou 40 ou 66 ou 144 boules au début

Des boules de toutes les couleurs

Posté par
mbenguey
re : Des boules de toutes les couleurs 13-04-16 à 01:56

perduBonjour
Soit x le nombre de couleurs avant l'ajout des 15 boules et n le nombre de boules de chaque couleur
proba avant (n-1)/(nx-1)
proba aprés ajout \frac{nx(n-1)+210}{(nx+15)(nx+14)}
en égalisant les proba on obtient x(8-n)=7 d'où x=n=7 Donc il  y avait 49 boules au début

Posté par
littleguy
re : Des boules de toutes les couleurs 16-04-16 à 14:41

Bonjour,

Certains ont détaillé la répartition pour chaque cas, d'autres donné le résultat brut, j'ai bien sûr accepté les deux approches,  il y avait effectivement une seule solution pour 15 et une seule pour 20, et  cinq pour 25.

Merci pour votre participation et bravi à ceux qui ont trouvé.

Posté par
masab
re : Des boules de toutes les couleurs 16-04-16 à 15:51

gagnéIl aurait pu y avoir 2 solutions distinctes ayant le même nombre de boules...

Posté par
derny
re : Des boules de toutes les couleurs 17-04-16 à 00:23

gagnéBonjour. J'avais posé dans la rubrique "Détente" une question qui n'est pas passée vraisemblablement car elle aurait pu orienter certains vers la solution de cette énigme.
La voici : Dans cette énigme on a 2 configurations successives qui donnent la même probabilité. Il y a des possibilités avec 3 configurations (c'est à dire avec 2 remises de boules) et même avec 4 configurations (j'ai trouvé 4 solutions dans ce cas). Ma question est : peut-on faire mieux que 4 configurations ? Je pense que non mais je n'en ai pas la preuve.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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