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Des compacts non fermés

Posté par
jsvdb
16-04-18 à 11:44

Bonjour à tous

Définitions :
Un partie K d'un espace topologique (X,T) est dite quasi-compacte si de tout recouvrement de K par des ouverts de T, on peut trouver un sous-recouvrement fini de K.


On appelle bornologie sur un ensemble E toute partie \mathfrak B \subset \mathfrak P(E) vérifiant :
1- si A \in \mathfrak B alors \mathfrak P(A) \subset \mathfrak B
2- si A,B \in \mathfrak B alors A \cup B \in \mathfrak B.
3- \forall x \in E, \{x\} \in \mathfrak B.


Soit X un ensemble infini.
Trouver sur X une topologie pour laquelle il existe une partie de X qui soit quasi-compacte et non fermée.
(On appelle espace KC un espace topologique dans lequel les parties quasi-compactes sont fermées. C'est le cas par exemple de tout espace séparé.)
Trouver sur X une topologie et une bornologie pour laquelle il existe une partie de X qui soit quasi-compacte, non fermée et non bornée.

Posté par
Schtromphmol
re : Des compacts non fermés 21-04-18 à 19:27

Bonjour,

Chose amusante, en anglais on dit compact pour quasi-compacte et compact Hausdorff pour compacte (Hausdorff signifiant séparé, un espace quasi-compact séparé étant compact).

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En espérant ne pas délirer

Posté par
jsvdb
re : Des compacts non fermés 23-04-18 à 01:42

Bonsoir Schtromphmol.

Effectivement, mon titre est volontairement provocateur puisque compact implique nécessairement fermé dans la mesure où on ne peut parler de compacité que, par définition, dans des espaces séparés.

Donc, oui, il faut prendre un espace non séparé.

On se place donc dans X, ensemble infini, que l'on munit de la topologie grossière et de la bornologie dont la base est l'ensemble des singletons.

Ainsi :

1/ toute partie K de X est quasi-compacte puisque le seul* recouvrement de K est X lui-même et évidemment, en extraire un sous-recouvrement fini est trivial. Et dès que K est ni vide ni l'espace lui-même, elle est non fermée.

2/ toute partie infinie KX de X est non bornée et donc également quasi-compacte et non fermée.

Le point 2/ justifie de prendre X, ensemble infini, faute de quoi on ne trouverait pas de parties non bornées et on ne pourrait répondre à l'énoncé.
________________________
* pour les pinailleurs, on pourra distinguer selon que K est vide ou non.



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