Niveau autre

Des diviseurs de (7+i)

Posté par
alainpaul 19-10-13 à 09:59

Bonjour,

Je recherche tous les diviseurs de 7+i tels que:
$(7+i)=(p+i)\times (q+ri) , p,q \in Z$ ,

Merci,

Alain

Posté par re : Des diviseurs de (7+i) 19-10-13 à 11:38

Salut

La décomposition de $7+i$ en facteurs premiers est $(-i)(1+i)(2+i)^2$ .

Posté par re : Des diviseurs de (7+i) 19-10-13 à 11:53

P.S. : Le [tex]-i[tex] est évidemment un facteur inversible, qu'on peut supprimer quand on cherche à obtenir tous les diviseurs...

(Ceci devrait être dans Supérieur, pas dans Lycée...)

Posté par re : Des diviseurs de (7+i) 19-10-13 à 12:53

Oui,

Peux-tu m'expliquer la méthode à suivre pour une telle décomposition?

Quant à moi,je te donne l'origine de ma question:
un problème posé sur cette même chaîne pour lequel je recherche
différentes solutions.

$f(x)=\frac{7x+1}{x^2+1} , (f,x)\in Z$

La décomposition en éléments simples donne:
$f(x)=\frac{1}{2}(\frac{7+i}{x+i}+\frac{7-i}{x-i})$

Amicalement,

Alain

Posté par re : Des diviseurs de (7+i) 19-10-13 à 13:02

Citation :
Peux-tu m'expliquer la méthode à suivre pour une telle décomposition?

Les méthodes sont essentiellement les mêmes que dans Z. Une méthode simple mais peu efficace est de tester tous les premiers jusqu'à une certaine borne pour savoir s'ils divisent le nombre qu'on veut factoriser. En pratique, il y a des méthodes plus efficaces mais laborieuses à effectuer à la main, donc on utilise l'ordinateur.

Posté par re : Des diviseurs de (7+i) 19-10-13 à 13:26

Bonjour,

on peut trouver une relation avec la décomposition du carré de la norme en somme de carrés
c'est à dire finalement la décomposition du carré de la norme en nombres premiers ordinaires.

Dans le cas présent où les nombres sont "assez petits" c'est largement faisable à la main !
ici le carré de la norme est 50 = 2*5²

et tu retrouves comme par hasard 2 = 1² + 1² et 5 = 2² + 1² qui donne
(7+i)(7-i) = (1+7i)(1-7i) = (1+i)(1-i)((2+i)(2+i))² etc
et donc à un facteur inversible près (1, i) le résultat indiqué
le facteur inversible fait le tri entre les 7+i, 7-i, 1+7i etc ... qui ont tous la même norme.

Justification par les calculs dans Z[i] bien entendu (ou sinon voir Fermat et son "Théorème de Noel" sur les sommes de carrés, puis retraduire ça en entiers de Gauss)
mais en "Lycée" c'est vraiment niveau "Autre". très très "autre" ...

prouver que Z[i] (entiers de Gauss) est un anneau "comme il faut" dans lequel on peut définir une décomposition en facteurs premiers, démontrer qu'un nombre premier de la forme 4k + 3 est aussi premier dans Z[i], prouver que tout nombre premier de la forme 4k+1 est décomposable en deux facteurs premiers de Gauss de façon unique à un facteur inversible près, etc etc etc ... )

Posté par re : Des diviseurs de (7+i) 19-10-13 à 14:52

Bonne après-midi,

Merci pour ta réponse fort claire.

La décomposition proposée (1+i)(1-i)((2+i)(2+i))²
permet,en utilisant les éléments simples, de
donner les valeurs entières de x telles que:
$\frac{7x+1}{x^2+1} \in Z$

Alain