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Des implications.

Posté par
Nijiro
20-04-20 à 17:16

Bonjour,
1) Soit (a;m;n) (*)3.
Montrer que: n/m\Rightarrow a^n-1/a^m-1

2) Soit (x;y;z) 3.
Montrer que: x^3+y^3+z^3\equiv 0 [3]\Rightarrow x+y+z\equiv 0[3]

Merci d'avance.

Posté par
matheuxmatou
re : Des implications. 20-04-20 à 17:55

bonjour

1 : somme de suite géométrique...

que vaut
1 + ap + a2p + a3p + ... + a(n-1)p

à appliquer ensuite à m=np puisque n divise p

remarque : le symbole / n'a jamais voulu dire "divise" ... c'est une opération de division ... pas pareil

Posté par
matheuxmatou
re : Des implications. 20-04-20 à 17:56

* "puisque n divise m" ... pardon

Posté par
matheuxmatou
re : Des implications. 20-04-20 à 17:57

pour le 1, je présume que a1 ... ou alors il faut traiter ce cas à part ... 0 divise 0 et dans ce cas n et m n'interviennent pas

Posté par
carpediem
re : Des implications. 20-04-20 à 19:21

salut

2/ il suffit de montrer que

a/ x^3 \equiv x  [3]
ou
b/ développer (x + y + z)3

Posté par
Nijiro
re : Des implications. 21-04-20 à 16:20

Salut,
matheuxmatou, comme ça:
Puisque n divise m, alors il existe p tel que: m=np.
Alors: a^m-1=a^{np}-1=(a^p-1)\sum_{i=0}^{(n-1)}{a^{ip}}=(a^p-1)(\frac{1-a^{np-p+1}}{1-a})?

Posté par
Nijiro
re : Des implications. 21-04-20 à 16:29

Carpediem, pour le développement:

(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3[ x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)+2xyz]
D'ailleurs:
3[ x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)+2xyz]\equiv 0[3]\\ donc: (x+y+z)^3\equiv x^3+y^3+z^3[3]
?

Posté par
matheuxmatou
re : Des implications. 21-04-20 à 18:11

Nijiro @ 21-04-2020 à 16:20

Salut,
matheuxmatou, comme ça:
Puisque n divise m, alors il existe p tel que: m=np.
Alors: a^m-1=a^{np}-1=(a^p-1)\sum_{i=0}^{(n-1)}{a^{ip}}=(a^p-1)(\frac{1-a^{np-p+1}}{1-a})?


la dernière égalité ne rime à rien !

et il vaut mieux permuter les n et les p dans mon indication initiale

a^m-1=a^{np}-1=(a^n-1)\sum_{i=0}^{(p-1)}{a^{in}}

ce qui prouve le résultat puisque la somme est un entier

Posté par
Nijiro
re : Des implications. 22-04-20 à 17:01

matheuxmatou @ 21-04-2020 à 18:11


a^m-1=a^{np}-1=(a^n-1)\sum_{i=0}^{(p-1)}{a^{in}}

Ah bon, merci
Reste la deuxième question, j'ai développé enfin j'ai eu: (x+y+z)^3\equiv x^3+y^3+z^3[3]?



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