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Niveau 2 *
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Des lampadaires cauchemardesques !

Posté par
littleguy
04-01-17 à 18:07

Bonjour et meilleurs voeux à tous.

Et voici le retour des énigmes pour ce mois, en attendant d'autres auteurs (qu'ils se manifestent auprès des autorités compétentes ! )

Aucune indication de difficulté n'est donnée (trop difficile à évaluer et c'est plus rigolo comme ça je trouve), donc niveau 2 par défaut pour toutes.
Comme d'habitude seule votre première réponse sera prise en compte et vous n'êtes pas tenu d'expliciter votre démarche (mais vous pouvez bien sûr le faire, éventuellement dans un post ultérieur si vous jouez « pour la gagne » et ne voulez pas être pénalisé par le temps).

Voici donc :

Des lampadaires cauchemardesques !

Le responsable de l'éclairage d'une ville a fait un cauchemar dans la nuit de la Saint-Sylvestre. Il raconte à un collègue :

- Il y avait une route circulaire bordée de lampadaires tous allumés et numérotés 1,2,3, etc.  Je devais la parcourir en partant du 1 et en allant dans l'ordre croissant, et éteindre les lampadaires mais en respectant un ordre particulier : je devais laisser le 1 allumé, puis éteindre le 2, laisser ensuite le 3 allumé, puis éteindre le 4, etc., en laissant toujours un lampadaire allumé et un seul avant d'en éteindre un autre. Et continuer ainsi sur cette fichue route circulaire en éteignant au fur et à mesure ces maudits lampadaires jusqu'à ce qu'il n'en reste plus qu'un allumé.
- Ah ! Et il y en avait beaucoup en tout ?

- Oh oui, mais j'ai oublié combien exactement. Moins de 10000 c'est sûr car je me souviens que le plus grand numéro était composé de quatre chiffres.
- Oh là là, quel cauchemar !
- Oui tu peux le dire ! Je me suis réveillé en sursaut au tout dernier lampadaire resté allumé, et ça je m'en souviens très précisément, c'était le numéro 2017.
- Ah oui, forcément, facile à retenir !


Combien de lampadaires pouvait-il y avoir sur cette route ?
S'il existe plusieurs solutions donnez-les toutes.

A vous !



Posté par
RaxFlash
re : Des lamapdaires cauchemardesques ! 04-01-17 à 18:35

perdu2018

Posté par
trapangle
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 04-01-17 à 18:45

gagnéBonsoir littleguy, meilleurs vœux à toi aussi

Si je ne me trompe, c'est la suite 6257 de l'OEIS, et pour 2017 il y a 4 solutions :
2032, 3056, 5104 et 9200.

Posté par
rschoon
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 04-01-17 à 19:21

gagnéMeilleurs voeux à tous et ravi de voir cette rubrique à nouveau active.

Il y a 4 solutions : 2032, 3056, 5104 et 9200.

Merci pour l'énigme

Posté par
Nofutur2
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 04-01-17 à 19:55

gagnéCa y est .. C'est reparti..!! Bonne année à tous..
Je trouve 4 solutions : 2032, 3056, 5104 et 9200...
Sans garantie !!!

Posté par
Zormuche
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 04-01-17 à 21:24

gagnéBonjour enfin une enigme ! merci !

2017      =     211 - 2*16 + 1      =      212 - 2*1040 + 1      =      213 - 2*3088 + 1      =      214 - 2*7184 + 1


Les solutions sont donc :

211-16 = 2032
212-1040 = 3056
213-3088 = 5104
214-7184 = 9200

On pourrait aller plus haut mais ce serait supérieur à 10000 donc pas désirable

Posté par
Nofutur2
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 04-01-17 à 21:47

gagnéEn fait, je viens de comprendre que pour trouver la solution il n'y a pas besoin de gros calculs ni de programme..
Comme on commence par éteindre les lampadaires pairs, le nombre restant n ne peut être qu'impair..
On calcule \frac{n-1}{2} et on ajoute le résultat à une puissance de 2 en vérifiant que le résultat est bien sûr supérieur à n .
Pour n=2017, on a \frac{n-1}{2}=1008, donc les nombres de lampadaires peuvent être :
1024 + 1008 = 2032
2048 + 1008 = 3056
4096 + 1008 = 5104
8192 + 1008 = 9200

Si on avait commencé par éteindre les lampadaires impairs, le nombre restant aurait été pair et on aurait pratiqué de la même manière en calculant \frac{n}{2}.

Posté par
sanantonio312
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 05-01-17 à 16:09

perduBonjour,
J'ai sans doute mal compris le texte car pour moi, c'est impossible. Le dernier allumé est toujours pair.
avec 2 lampadaires, le dernier est le numéro 2.
avec 3, le 2
4, le 4
5, le 2
6, le 4
7, le 6
....
Une reprise avec un .
Bah, si c'est un maquereau bien frais...
En tous cas, merci pour l'énigme.

Posté par
LittleFox
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 05-01-17 à 17:12

gagné
Merci LittleGuy  de relancer les énigmes =)
Qui sont les autorités compétentes?

Cette route contenait 2032,3056,5104 ou 9200 lampadaires ce qui est déjà une fameuse route si les lampadaires sont espacés de 25m.

Posté par
torio
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 05-01-17 à 17:13

gagnéQuatre Solutions :

2032
3056
5104
9200


Bonne Année
Torio

Posté par
Mathaction
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 05-01-17 à 18:24

perdu2017

Posté par
Sylvieg
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 07-01-17 à 17:29

gagnéMerci encore pour cette énigme que je trouve très amusante  
La lumière a fini par venir. Enfin j'espère...
Je trouve 4 solutions :
2032    3056    5104    9200

Trouvées en utilisant    1008 + 2k    avec  k  tel que   1008  <  2k    et    1008 + 2k  <  10 000  .  
Ce qui donne 10, 11, 12, 13  comme valeurs pour  k .

Posté par
lake
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 07-01-17 à 21:27

gagnéBonjour littleguy,

Je trouve 4 solutions avec les puissances de 2 et les impairs:

2032    3056    5104    9200

Merci pour cette énigme !

Posté par
derny
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 08-01-17 à 14:09

gagnéBonjour
2032
3056
5104
9200

Posté par
dpi
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 09-01-17 à 14:00

perduBonjour littleguy

La rubrique va revivre.

Sauf erreur il  y a 4110  lampadaires en boucle.

Posté par
franz
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 12-01-17 à 08:49

gagnéIl existe 4 solutions. La route peut être bordée de
   *  2032
   *  3056
   *  5104
   *  9200
lampadaires.

Posté par
Cpierre60
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 13-01-17 à 19:04

gagnéBonjour,
Merci pour ce casse-tête !
Je propose :
2032 ; 3056 ; 5104 ; 9200
Congruences,
Je dirai quelque jour vos naissances latentes....

Posté par
Chatof
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 20-01-17 à 13:32

gagné4 solutions = 2032 ;  3056 ;  5104 ;    9200

merci Littleguy

(2017-1)/2 + 2^(10+n)

programme en Python :
nbm=int(input("n?"))
rp=[1]*(nbm+1)
for n in range(3,nbm,2):
    a=n-1
    b=a//2
    rp[n]=rp[b]*2+1
    if rp[n]==2017:
        print("solution=",n," ")    
    n=n+1
    a=n//2
    rp[n]=(rp[a]-1)*2 +1
    if rp[n]==2017:
        print("solution=",n," ")

Posté par
pondy
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 20-01-17 à 15:54

gagnéSalut
Je trouve 4 solutions:
2032, 3056, 5104 et 9200

Posté par
littleguy
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 25-01-17 à 10:04

Bonjour,

Il s'agissait en effet (merci trapangle ) d'un cas particulier du problème de Josèphe. ()

Une façon de visualiser la chose :
Des lampadaires cauchemardesques !

en base 2 le premier chiffre est relégué en dernière position (on peut démontrer par récurrence la généralité).  Faisons alors la route à l'envers.
Le nombre 2017 écrit en base dix s'écrit 11111100001 en base deux.

Donc 11111110000, 101111110000, 1001111110000, 10001111110000 (soit 2034,3056,5014,9200 en base 10) conduiront à 2017 en base 10.

Plusieurs d'entre vous ont donné la formule donnant directement le résultat demandé,

Pour Littlefox : ce que j'entendais par "les autorités compétentes" c'est webmaster, modérateurs, .... L'heure de la retraite pour moi va bientôt sonner.

Posté par
pondy
re : Des lampadaires cauchemardesques ! 25-01-17 à 12:56

gagnésalut
méthode sans doute un peu simplette avec python
on ne fait que traduire l'énoncé

Des lampadaires cauchemardesques !

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 17
:)76,47 %23,53 %:(
13 4

Temps de réponse moyen : 95:01:10.
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