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Des quadruplets très rapides
Bonjour,
Un sujet inspiré de 
suite en valeurs absolues
Il s'agit de l'itération de la fonction f définie par f((a,b,c,d)) = (|b-a|, |c-b|, |d-c|, |a-d|).
Quand a, b, c et d sont des entiers, on finit par obtenir (0,0,0,0).
Par exemple, avec (2021, 732, 1789, 1968) on tombe sur (0,0,0,0) au bout de 6 étapes.
C'est un classique, semble-t-il. Mais je vous laisse le plaisir d'explorer un peu si vous ne connaissez pas.
Ce qui est surprenant, c'est la vitesse avec laquelle on « tombe » sur (0,0,0,0) quel que soit le quadruplet de départ.
Pourrez-vous trouver un quadruplet d'entiers naturels pour lequel il faut au moins 21 étapes pour tomber sur (0,0,0,0) ?
Je n'ai pas osé 2021, mais si le cœur vous en dit 
Autre question dont je n'ai pas la réponse :
Peut-on trouver un quadruplet de réels qui ne donne jamais (0,0,0,0) ?
Bonjour
Et merci pour ce bel exercice.
A noter que 1,2,3,4 a aussi 6 étapes
Je doute de faire mieux que 6 ,je cherche...........
bonjour tout le monde
de toutes façons, comme f(a,b,c,d) = f(0,b-a,c-a,d-a), il suffit de n'examiner que des quadruplets dont la première valeur est 0
J'ai 21 étapes avec (0, 230, 653, 1431) et je pense que c'est le plus petit (la valeur max est la plus petite).
Cliquez pour afficherUne solution pour 2021:
Cliquez pour afficher@LittleFox : 
Ta formule est remarquable 
J'en propose une présentation légèrement différente :
Cliquez pour afficherBonjour à tous,
Vous remarquerez,que l'enchainement marche aussi avec des décimales.
exemple:
Pour aller vers la demande de Sylvieg de voir pour 2021 ,j'ai trouvé:
Cliquez pour afficher
Merci dpi de réveiller ce sujet 
En fait, on peut utiliser des rationnels, donc des décimaux.
Multiplier par 10 000 ton exemple non blanké revient à manipuler des entiers avec les mêmes étapes.
Bravo pour le "21 étapes" avec 2021.
Comme c'est bientôt Noël, je donne quelques liens pour ceux qui veulent approfondir :
Mais rien sur un quadruplet de réels qui ne donne jamais (0,0,0,0) 
Bonjour à tous
Je ne connaissais pas ce "classique" et ça fait bien penser à Syracuse avec une convergence en un seul point . En se limitant aux entiers , on gomme la difficulté liée à la nature des points et à leurs distances respectives . J'ai l'impression qu'on converge toujours vers ( 0 ; 0 ; 0 ; 0 ) même avec des valeurs transcendantes , mais pour quelle raison ??????
J'aimerais bien connaitre la génèse du problème .
Imod
Bonjour Imod,
J'ai l'impression que le problème de valeurs irrationnelles est abordé page 8 du document en anglais.
Je n'aurai pas le temps de m'y pencher sérieusement aujourd'hui ( réveillon oblige ).
Mais c'est dans mes projets.
Je ne suis pas à l'aise avec la langue de Shakespeare ; donc c'est un peu galère pour moi.
>Sylvieg,
Il te reste quelques jours ,si tu veux faire le concours FFJM (voir sur le site )
il y a deux questions ardues ...
L'article en anglais donne un quadruplet réel qui arrive à 0 en un temps infini. Mais il fini avant d'avoir expliqué comment il a été trouvé.
Ce quadruplet est (0, 1, q(q-1), q) avec q la solution réelle de q³ = q²+q+1.
J'en ai un autre : (0, 1, a, a²-a+1) avec a la solution réelle de a³-4a²+4a-2 = 0
Je l'ai construit en considérant que le nombre d'étape de (a,b,c,d) est le même que le nombre d'étapes de (a+x,b+x,c+x,d+x) ou (ax,bx,cx,dx).
Si on considère 0<1<a<b, la première étape donne :
(1,a-1,b-a,b) = (0, a-2, b-a-1, b-1) = (0, 1, (b-a-1)/(a-2), (b-1)/(a-2))
En associant (0, 1, (b-a-1)/(a-2), (b-1)/(a-2)) à (0, 1, a, b), on a un système dont la réponse est a, solution de a³-4a²+4a-2 = 0.
Bonsoir,
Je n'ai pas trop le temps d'approfondir, mais je crois avoir compris ta construction LittleFox.
"En associant (0, 1, (b-a-1)/(a-2), (b-1)/(a-2)) à (0, 1, a, b)" signifie bien "en cherchant a et b tels que les 2 quadruplets soient égaux" ?
Merci pour ce joli cadeau de Noël
Autre remarque : q = a-1.
Le quadruplet de la 1ère étape, (1, a-1, b-a, b) s'écrit aussi (1, q, q2, 1+q+q2).
Bonjour et joyeux Noël
Un peu plus de temps ce matin.
J'ai continué à exploiter le message de LittleFox.
Le quadruplet de la 1ère étape, (1, a-1, b-a, b) s'écrit aussi (1, q, q2, 1+q+q2) = (1, q, q2, q3).
D'où une manière de trouver q avec la même méthode que pour trouver a :
En notant L(a,b,c,d) le nombre d'étapes pour atteindre (0,0,0,0) à partir de (a,b,c,d).
Avec x >1, on a L(1, x, x2, x3) = L(0, x-1, x2-1, x3-1) = L(0, 1, x+1, x2+x+1).
D'où
L(1, x, x2, x3) = 1 + L(1, x, x2, x2+x+1).
Si x3 = x2+x+1 alors L(1, x, x2, x3) ne peut être fini.
L'équation x3 = x2+x+1 admet une solution réelle q supérieure à 1.
En partant de (1, q, q2, q3), le quadruplet (0,0,0,0) n'est jamais atteint.
Mais je soupçonne une convergence assez rapide
Pas si rapide que ça en fait.
Le réel q est la solution réelle de l'équation x3-x2-x-1 = 0.
q > 1 et q3 = q2+q+1.
Avec a = 1, b = q, c = q2 et d = q3 = 1+q+q2,
on a a < b < c < d .
La première étape en partant de (a,b,c,d) donne (a1,b1,c1,d1) avec
a1 = b-a = q-1 = (q-1)a
b1 = q(q-1) = (q-1)b
c1 = q3-q2 = q2(q-1) = (q-1)c
d1 = q3-1 = (q-1)(q2+q+1) = (q-1)d
La n-ième étape donne donc (an,bn,cn,dn) avec
an = (q-1)n
bn = (q-1)nq
cn = (q-1)nq2
dn = (q-1)nq3 = (q-1)n(1+q+q2)
Impressionnant Sylvieg
C'était bien l'idée mais tu l'as développée bien plus loin que ce que j'aurais imaginé.
Chapeau
On a donc bien une convergence (exponentielle) vers (0,0,0,0) mais elle est lente( q-1 
0,84).
Bonsoir LittleFox,
C'est ta méthode pour trouver a qui m'a débloquée
Voir apparaître ensuite ces suites géométriques hyper simples était assez inattendu …
Une autre idée m'est venue depuis :
Chercher un quadruplet (a, b, c, d) dont l'image est (ta, tb, tc, td), avec t > 0.
Dans ce but, il ne faut pas s'imposer a = 0, mais plutôt a =1.
Soit (1, b, c, d) avec 1 < b < c < d.
Si la première étape est (t, tb, tc, td) alors la nième étape sera (tn, tnb, tnc, tnd).
Jamais (0, 0, 0, 0) !
On a 4 équations d'inconnues b, c, d et t :
b-1 = t 
b = t+1
c-b =tb c = b(t+1)
d-c = tc d = c(t+1)
d-1 = td
Ces équations donnent d = (t+1)3 puis (t+1)3 - 1 = t(t+1)3
(t+1)3 - 1 = t(t+1)3 t((t+1)2 + (t+1) + 1) = t(t+1)3 (t+1)2 + (t+1) + 1 = (t+1)3
Voilà comment on peut trouver le q du texte en anglais
Bonjour,
Cet exercice me poursuit
*Avez-vous trouvé plus que 21 étape?
*Avez-vous résolu l'équation en t de Sylvieg ?
Cliquez pour afficherBonjour dpi,
Oui, ces quadruplets sont facilement addictifs
Pour trouver plus de 21 étapes, on peut utiliser la formule de LittleFox.
Elle permet de remonter aussi longtemps que l'on veut.
Il l'utilise pour donner un quadruplet de 21 étapes puis de 2021 étapes.
Formule et quadruplets sont donnés dans les blankés de son message du 18/12.
J'ai redonné la formule, présentée un peu différemment, dans le message de 19/12 à 9h06.
(c-a, c+a, c+a+2b, a+2b+3c) est un antécédent par f de (a, b, c, a+b+c)
Je la redonne rectifiée :
Si a < c
On peut donc trouver un quadruplet avec une étape de plus à partir de n'importe quel quadruplet.
Avec un exemple :
Ton quadruplet (1,2,3,4) qui donne 5 étapes.
On commence par chercher x tel que (1+x, 2+x, 3+x, 4+x) vérifie d = a+b+c
On trouve x = -1. Le quadruplet (0,1,2,3) a aussi 5 étapes car f((0,1,2,3)) = f((1,2,3,4)).
En appliquant la formule à (0,1,2,3), on trouve (2,2,4,8).
f((2,2,4,8)) = (0,2,4,6). Avec (0,2,4,6) qui a le même nombre d'étapes que (0,1,2,3), donc que (1,2,3,4).
(2,2,4,8) a donc une étape de plus que (1,2,3,4).
Pour l'équation en t, un autre message plus tard
J'ai regardé ta table.
Il me semble que tu compares (t+1)3 - 1 avec t(t+1)3.
En posant a = t+1, ça revient à a3-1 et (a-1)a3
Recherche effectuée pour trouver un quadruplet de réels qui ne retombe jamais sur (0,0,0,0).
On cherche des réels. Donc a ou t peuvent ne pas être entiers.
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