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Des quadruplets très rapides

Posté par
Sylvieg Moderateur
18-12-20 à 15:39

Bonjour,
Un sujet inspiré de suite en valeurs absolues
Il s'agit de l'itération de la fonction f définie par f((a,b,c,d)) = (|b-a|, |c-b|, |d-c|, |a-d|).

Quand a, b, c et d sont des entiers, on finit par obtenir (0,0,0,0).
Par exemple, avec (2021, 732, 1789, 1968) on tombe sur (0,0,0,0) au bout de 6 étapes.
C'est un classique, semble-t-il. Mais je vous laisse le plaisir d'explorer un peu si vous ne connaissez pas.

Ce qui est surprenant, c'est la vitesse avec laquelle on « tombe » sur (0,0,0,0) quel que soit le quadruplet de départ.

Pourrez-vous trouver un quadruplet d'entiers naturels pour lequel il faut au moins 21 étapes pour tomber sur (0,0,0,0) ?
Je n'ai pas osé 2021, mais si le cœur vous en dit

Autre question dont je n'ai pas la réponse :
Peut-on trouver un quadruplet de réels qui ne donne jamais (0,0,0,0) ?

Posté par
dpi
re : Des quadruplets très rapides 18-12-20 à 17:42

Bonjour
Et merci pour ce bel exercice.
A noter que 1,2,3,4  a aussi 6 étapes
Je doute de faire mieux que 6 ,je cherche...........

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Des quadruplets très rapides 18-12-20 à 17:57

Je t'aide :

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Des quadruplets très rapides 18-12-20 à 18:10

Et, pour (1,2,3,4), je ne trouve que 5 étapes

Posté par
matheuxmatou
re : Des quadruplets très rapides 18-12-20 à 18:33

bonjour tout le monde

de toutes façons, comme f(a,b,c,d) = f(0,b-a,c-a,d-a), il suffit de n'examiner que des quadruplets dont la première valeur est 0

Posté par
LittleFox
re : Des quadruplets très rapides 18-12-20 à 21:45


J'ai 21 étapes avec (0, 230, 653, 1431) et je pense que c'est le plus petit (la valeur max est la plus petite).

 Cliquez pour afficher


Une solution pour 2021:

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Des quadruplets très rapides 19-12-20 à 09:06

@LittleFox :
Ta formule est remarquable
J'en propose une présentation légèrement différente :

 Cliquez pour afficher

Posté par
dpi
re : Des quadruplets très rapides 19-12-20 à 11:47

Bonjour,

Cela me fait penser au vol de Syracuse....(altitude,durée de  vol)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Des quadruplets très rapides 19-12-20 à 12:21

Tout à fait
Sauf que pour Syracuse, c'est encore une conjecture...

Posté par
dpi
re : Des quadruplets très rapides 24-12-20 à 09:59

Bonjour à tous,
Vous remarquerez,que l'enchainement marche aussi avec des décimales.
exemple:
Des quadruplets très rapides

Pour aller vers la demande de Sylvieg  de voir pour 2021  ,j'ai trouvé:

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Des quadruplets très rapides 24-12-20 à 11:03

Merci dpi de réveiller ce sujet
En fait, on peut utiliser des rationnels, donc des décimaux.
Multiplier par 10 000 ton exemple non blanké revient à manipuler des entiers avec les mêmes étapes.
Bravo pour le "21 étapes" avec 2021.

Comme c'est bientôt Noël, je donne quelques liens pour ceux qui veulent approfondir :
\; \; \; \;
Mais rien sur un quadruplet de réels qui ne donne jamais (0,0,0,0)

Posté par
Imod
re : Des quadruplets très rapides 24-12-20 à 11:13

Bonjour à tous

Je ne connaissais pas ce "classique" et ça fait bien penser à Syracuse avec une convergence en un seul point . En se limitant aux entiers , on gomme la difficulté liée à la nature des points et à leurs distances respectives . J'ai l'impression qu'on converge toujours vers ( 0 ; 0 ; 0 ; 0 ) même avec des valeurs transcendantes , mais pour quelle raison ??????

J'aimerais bien connaitre la génèse du problème .

Imod  

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Des quadruplets très rapides 24-12-20 à 13:45

Bonjour Imod,
J'ai l'impression que le problème de valeurs irrationnelles est abordé page 8 du document en anglais.
Je n'aurai pas le temps de m'y pencher sérieusement aujourd'hui ( réveillon oblige ).
Mais c'est dans mes projets.
Je ne suis pas à l'aise avec la langue de Shakespeare ; donc c'est un peu galère pour moi.

Posté par
dpi
re : Des quadruplets très rapides 24-12-20 à 15:21

>Sylvieg,

Il  te reste quelques jours ,si tu veux faire le concours FFJM (voir sur le site )
il y a deux questions ardues ...

Posté par
LittleFox
re : Des quadruplets très rapides 24-12-20 à 16:30


L'article en anglais donne un quadruplet réel qui arrive à 0 en un temps infini. Mais il fini avant d'avoir expliqué comment il a été trouvé.

Ce quadruplet est (0, 1, q(q-1), q) avec q la solution réelle de q³ = q²+q+1.

J'en ai un autre : (0, 1, a, a²-a+1) avec a la solution réelle de a³-4a²+4a-2 = 0

Je l'ai construit en considérant que le nombre d'étape de (a,b,c,d) est le même que le nombre d'étapes de (a+x,b+x,c+x,d+x) ou (ax,bx,cx,dx).
Si on considère 0<1<a<b, la première étape donne :
(1,a-1,b-a,b) = (0, a-2, b-a-1, b-1) = (0, 1, (b-a-1)/(a-2), (b-1)/(a-2))

En associant  (0, 1, (b-a-1)/(a-2), (b-1)/(a-2)) à (0, 1, a, b), on a un système dont la réponse est a, solution de a³-4a²+4a-2 = 0.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Des quadruplets très rapides 24-12-20 à 17:06

Bonsoir,
Je n'ai pas trop le temps d'approfondir, mais je crois avoir compris ta construction LittleFox.
"En associant (0, 1, (b-a-1)/(a-2), (b-1)/(a-2)) à (0, 1, a, b)" signifie bien "en cherchant a et b tels que les 2 quadruplets soient égaux" ?
Merci pour ce joli cadeau de Noël

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Des quadruplets très rapides 24-12-20 à 17:10

Une remarque : b-a = (a-1)2

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Des quadruplets très rapides 24-12-20 à 18:55

Autre remarque : q = a-1.
Le quadruplet de la 1ère étape, (1, a-1, b-a, b) s'écrit aussi (1, q, q2, 1+q+q2).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Des quadruplets très rapides 25-12-20 à 10:01

Bonjour et joyeux Noël
Un peu plus de temps ce matin.
J'ai continué à exploiter le message de LittleFox.
Le quadruplet de la 1ère étape, (1, a-1, b-a, b) s'écrit aussi (1, q, q2, 1+q+q2) = (1, q, q2, q3).

D'où une manière de trouver q avec la même méthode que pour trouver a :
En notant L(a,b,c,d) le nombre d'étapes pour atteindre (0,0,0,0) à partir de (a,b,c,d).

Avec x >1, on a L(1, x, x2, x3) = L(0, x-1, x2-1, x3-1) = L(0, 1, x+1, x2+x+1).
D'où
L(1, x, x2, x3) = 1 + L(1, x, x2, x2+x+1).

Si x3 = x2+x+1 alors L(1, x, x2, x3) ne peut être fini.

L'équation x3 = x2+x+1 admet une solution réelle q supérieure à 1.
En partant de (1, q, q2, q3), le quadruplet (0,0,0,0) n'est jamais atteint.

Mais je soupçonne une convergence assez rapide

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Des quadruplets très rapides 25-12-20 à 14:16

Pas si rapide que ça en fait.
Le réel q est la solution réelle de l'équation x3-x2-x-1 = 0.
q > 1 et q3 = q2+q+1.

Avec a = 1, b = q, c = q2 et d = q3 = 1+q+q2,
on a \; a < b < c < d .
La première étape en partant de (a,b,c,d) donne (a1,b1,c1,d1) avec
a1 = b-a = q-1 = (q-1)a
b1 = q(q-1) = (q-1)b
c1 = q3-q2 = q2(q-1) = (q-1)c
d1 = q3-1 = (q-1)(q2+q+1) = (q-1)d

La n-ième étape donne donc (an,bn,cn,dn) avec
an = (q-1)n
bn = (q-1)nq
cn = (q-1)nq2
dn = (q-1)nq3 = (q-1)n(1+q+q2)

Posté par
LittleFox
re : Des quadruplets très rapides 26-12-20 à 15:47


Impressionnant Sylvieg

C'était bien l'idée mais tu l'as développée bien plus loin que ce que j'aurais imaginé.
Chapeau

On a donc bien une convergence (exponentielle) vers (0,0,0,0) mais elle est lente( q-1 0,84).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Des quadruplets très rapides 26-12-20 à 20:31

Bonsoir LittleFox,
C'est ta méthode pour trouver a qui m'a débloquée
Voir apparaître ensuite ces suites géométriques hyper simples était assez inattendu …

Une autre idée m'est venue depuis :
Chercher un quadruplet (a, b, c, d) dont l'image est (ta, tb, tc, td), avec t > 0.
Dans ce but, il ne faut pas s'imposer a = 0, mais plutôt a =1.
Soit (1, b, c, d) avec 1 < b < c < d.
Si la première étape est (t, tb, tc, td) alors la nième étape sera (tn, tnb, tnc, tnd).
Jamais (0, 0, 0, 0) !

On a 4 équations d'inconnues b, c, d et t :
b-1 = t b = t+1
c-b =tb c = b(t+1)
d-c = tc d = c(t+1)
d-1 = td
Ces équations donnent d = (t+1)3 puis (t+1)3 - 1 = t(t+1)3
(t+1)3 - 1 = t(t+1)3 t((t+1)2 + (t+1) + 1) = t(t+1)3 (t+1)2 + (t+1) + 1 = (t+1)3
Voilà comment on peut trouver le q du texte en anglais

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Des quadruplets très rapides 28-12-20 à 09:58

Lire \; t((t+1)2 + (t+1) + 1) = t(t+1)3 \; dans la dernière ligne.

Posté par
dpi
re : Des quadruplets très rapides 28-12-20 à 10:11

Bonjour Sylvieg

Je suis de loin:

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Des quadruplets très rapides 28-12-20 à 10:14

Bonjour dpi,
Merci de relire avec attention mes contributions
Quel deuxième membre ?

Posté par
dpi
re : Des quadruplets très rapides 28-12-20 à 12:23

Je pense:

 Cliquez pour afficher

Posté par
LittleFox
re : Des quadruplets très rapides 29-12-20 à 13:46

Non, c'est correct.

Posté par
dpi
re : Des quadruplets très rapides 30-12-20 à 06:56

Bonjour,
Cet exercice me poursuit
*Avez-vous trouvé plus que 21 étape?
*Avez-vous  résolu l'équation en  t de Sylvieg ?

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Des quadruplets très rapides 30-12-20 à 08:37

Bonjour dpi,
Oui, ces quadruplets sont facilement addictifs

Pour trouver plus de 21 étapes, on peut utiliser la formule de LittleFox.
Elle permet de remonter aussi longtemps que l'on veut.
Il l'utilise pour donner un quadruplet de 21 étapes puis de 2021 étapes.
Formule et quadruplets sont donnés dans les blankés de son message du 18/12.

J'ai redonné la formule, présentée un peu différemment, dans le message de 19/12 à 9h06.

Citation :
(c-a, c+a, c+a+2b, a+2b+3c) est un antécédent par f de (a, b, c, a+b+c)
Mais je viens de m'apercevoir que je l'ai trop raccourcie.
Je la redonne rectifiée :
Si a < c \; alors \; (c-a, c+a, c+a+2b, a+2b+3c) est un antécédent par f de (2a, 2b, 2c, 2(a+b+c)).
On peut donc trouver un quadruplet avec une étape de plus à partir de n'importe quel quadruplet.

Avec un exemple :
Ton quadruplet (1,2,3,4) qui donne 5 étapes.
On commence par chercher x tel que (1+x, 2+x, 3+x, 4+x) vérifie d = a+b+c
On trouve x = -1. Le quadruplet (0,1,2,3) a aussi 5 étapes car f((0,1,2,3)) = f((1,2,3,4)).
En appliquant la formule à (0,1,2,3), on trouve (2,2,4,8).
f((2,2,4,8)) = (0,2,4,6). Avec (0,2,4,6) qui a le même nombre d'étapes que (0,1,2,3), donc que (1,2,3,4).
(2,2,4,8) a donc une étape de plus que (1,2,3,4).

Pour l'équation en t, un autre message plus tard

Posté par
dpi
re : Des quadruplets très rapides 30-12-20 à 09:21

Impressionnant !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Des quadruplets très rapides 30-12-20 à 09:22

J'ai regardé ta table.
Il me semble que tu compares (t+1)3 - 1 avec t(t+1)3.
En posant a = t+1, ça revient à a3-1 et (a-1)a3
Recherche effectuée pour trouver un quadruplet de réels qui ne retombe jamais sur (0,0,0,0).
On cherche des réels. Donc a ou t peuvent ne pas être entiers.

Posté par
dpi
re : Des quadruplets très rapides 30-12-20 à 15:47

J'ai honte d'avoir essayé de résoudre l'égalité:

 Cliquez pour afficher

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Des quadruplets très rapides 30-12-20 à 16:03

Oui.
Pour une valeur exacte de t+1, voir page 8 de .

Posté par
dpi
re : Des quadruplets très rapides 31-12-20 à 09:15

Bonjour,
J'ai bien aimé la représentation imagée du problème.
Avec 15 décimales on arrive à 57 étapes.

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