Des sommes non nulles

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Des sommes non nulles
Posté par 
frenicle  27-10-07 à 11:00
Bonjour  

Petit exercice :

Citation :
On donne n nombres entiers impairs (de signe quelconque) dont la somme est non nulle.

Est-il toujours possible de les numéroter a1, ..., an, de telle façon que les sommes 

a1 

a1 + a2

a1 + a2 + a3

...

a1 + a2 + ... + an

soient toutes non nulles.

Si oui, comment ? Sinon, donner un contre-exemple.

Bonne reflexion 
Merci de masquer ("blanker") les réponses.

Cordialement

Frenicle 
 Posté par 
Ju007re : Des sommes non nulles  27-10-07 à 14:27
Bonjour,

ah ça a l'air rigolo ça 

Je vais y réfléchir! 
 Posté par 
Ju007re : Des sommes non nulles  27-10-07 à 14:37
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Par récurrence ça reviendrait à prouver qu'on peut trouver un ai tel que

ij aj  0

Imaginons que 

 i ij aj = 0

alors en somment pour tout i,

i=1ànij aj = 0

soit (n-1) j=1àn aj = 0

d'où  j=1àn aj = 0

Donc si par hypothèse j=1àn aj  0

alors il existe i tel que ij aj  0.

ai devient donc le dernier indice.

Il ne reste plus qu'à appliquer l'hypothèse de récurrence aux entiers a1,...,ai-1,ai+1,...,an.

La réponse est donc oui.

 Posté par 
freniclere : Des sommes non nulles  27-10-07 à 20:57
> Ju007

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Ok. Une autre preuve plus courte, peut-être ?
 Posté par 
plumemeteorere : Des sommes non nulles  28-10-07 à 00:29
bonjour Frenicle

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la réponse est simplissime

on groupe les nombres en positifs et en négatifs

et on commence par numéroter tous les nombres du groupe qui a la plus grande somme en valeur absolue
 Posté par 
freniclere : Des sommes non nulles  28-10-07 à 06:29
Bonjour Plumemeteore

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Eh oui, bien sûr, encore faut-il y penser  
 Posté par 
Ju007re : Des sommes non nulles  28-10-07 à 22:45
Bonjour,

pourquoi impair? 
 Posté par 
freniclere : Des sommes non nulles  28-10-07 à 22:48
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Pour détourner l'attention. La propriété est valable avec des réels quelconques 
 Posté par 
Fractalre : Des sommes non nulles  29-10-07 à 13:08
Bonjour 

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C'est possible.

Si la somme des n nombres est positive, on les numérote dans l'ordre décroissant, sinon dans l'ordre croissant.

On vérifie facilement que la somme ne peut alors jamais être nulle (par exemple dans le premier cas, si elle était nulle à un moment elle serait négative tout le temps après)

Fractal 
 Posté par 
anonymere : Des sommes non nulles  30-10-07 à 00:15
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un récurrence descendante finie mêlée à une disjonction de cas permet de résoudre le problème ...

  Posté par 
freniclere : Des sommes non nulles  30-10-07 à 19:42
> hatimy

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Il y a plus simple !