Voici un exercice qui me prend la tete! Est ce quelqu'un pourrait m'expliquer, car je n'arrive pas à le résoudre.

Pour tout entier naturel n, on pose u_n= n¹⁰/2ⁿ. On définit ainsi une suite (u_n)

1- Prouver, pour tout entier naturel n non nul, l'équivalence suivante:

u(_n+1)0,95u_n   si et seulement si (1+ (1/n))¹⁰ 1,9.

2- On considère la fonction f définie sur [1;+[ par:

f (x) = (1 + (1/x))¹⁰.

a) Etudier le sens de variation et la limite en + de la fonction f.

b) Montrer qu'il existe dans l'intervalle [1 ; +[ unique nombre réel tel que f() = 1,9.

c) Déterminer l'entier naturel n₀ tel que n₀ - 1 n₀.

d) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, on a :

(1 + 1/n)¹⁰ 1,9.

e) Déterminer le sens de variation de la suite ( u_n) à partir du rang 16.

f) Que peut on en déduire pour la suite,

g) En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, l'encadrement:

0 u_n0,95^{(n-16)*u₁₆}.

h) En déduire la limite de la suite (u_n).

Je vous remerci de bien vouloir m'aider.