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Des timbres en pagaille

Posté par
littleguy
31-03-16 à 18:32

Bonjour,

Le jeune Stampy a deux marottes : collectionner les timbres et faire des calculs.
Des timbres en pagaille

Un jour, il rassemble tous ses timbres et en fait deux paquets au hasard (donc pas nécessairement de même taille). Puis il décide comme ça de multiplier le nombre de timbres du premier paquet par le nombre de  timbres du second.

Ensuite il choisit un des deux paquets puis le partage en deux nouveaux paquets. Et  il multiplie le nombre de timbres du premier nouveau paquet formé par le nombre de timbres du nouveau second paquet.

Le voilà donc maintenant avec trois paquets. Il en choisit un et le partage en deux. Et bien sûr il multiplie le nombre de timbres du premier nouveau paquet formé par celui des timbres du second nouveau paquet.

Il continue ainsi et fatalement finit par n'obtenir que des « paquets » d'un seul timbre.

Pour satisfaire alors son addiction aux calculs gratuits il fait la somme de  tous les produits qu'il a obtenus tout au long de manipulation.
Il obtient 2031120.

Combien de timbres Stampy a-t-il dans sa collection ?

Posté par
masab
re : Des timbres en pagaille 31-03-16 à 18:50

gagnéBonjour littleguy,

Le jeune Stampy a 2016 timbres dans sa collection.
Merci pour cette énigme !!!!!!!!!

Posté par
pondy
re : Des timbres en pagaille 31-03-16 à 18:55

gagnéBonjour
nombre de timbres au départ: 2016

Posté par
trapangle
re : Des timbres en pagaille 31-03-16 à 19:12

gagnéBonsoir,

Je propose une collection de 2016 timbres.

Merci, bonne soirée.

Posté par
rschoon
re : Des timbres en pagaille 31-03-16 à 19:18

gagnéBonjour à tous.

Ma réponse : 2016 timbres

Merci pour l'énigme.

Posté par
manitoba
re : Des timbres en pagaille 31-03-16 à 19:19

perduBonjour LitlleGuy,

2015
Merci pour l'énigme.

Posté par
Nofutur2
re : Des timbres en pagaille 31-03-16 à 19:29

gagnéIl a 2016 timbres dans sa collection.

Posté par
derny
re : Des timbres en pagaille 31-03-16 à 19:40

gagnéBonsoir
2016

Posté par
torio
re : Des timbres en pagaille 01-04-16 à 00:27

gagné2016

Posté par
royannais
re : Des timbres en pagaille 01-04-16 à 06:33

gagné2016

Posté par
LittleFox
re : Des timbres en pagaille 01-04-16 à 11:42

gagné
Stampy a 2016 timbres dans sa collection.

On observe que la somme obtenue est S(n) = \frac{n(n-1)}{2}n est le nombre timbres. On peut trouver cette formule en enlevant seulement un timbre à chaque itération.

On montre que cette formule est valide peut importe la taille des deux tas à chaque itération. Soit a et b la taille des deux tas. S(a+b) = \frac{(a+b)(a+b-1)}{2} = \frac{a^2-a+b^2-b+2ab}{2} = \frac{a^2-a}{2} + \frac{b^2-b}{2} + ab = \frac{a(a-1)}{2} + \frac{b(b-1)}{2} + ab = S(a) + S(b) + ab.

Et on a S(2016) = \frac{2016*2015}{2} = 2031120.

Posté par
geo3
re : Des timbres en pagaille 01-04-16 à 12:44

perduBonjour
Je pense que  Stampy  possède 2015   timbres
A+

Posté par
veleda
re : Des timbres en pagaille 01-04-16 à 17:04

gagnébonjour,
si n est le nombre de timbres que possède  Stampy  je trouve que la somme de tous les produits formés est  \frac{n(n-1)}{2}
donc  il suffit de résoudre  n(n-1)=2(2031120 )          n   étant un entier naturel
ce qui donne     n=2016
(le 2016 me fait espérer que je ne me suis pas trompée)
merci pour ce problème

Posté par
franz
re : Des timbres en pagaille 01-04-16 à 21:59

gagnéBonjour,

j'ai découvert grâce à cette énigme que pour un nombre  n  donné, quelle que soit la façon de procéder dans le choix des subdivisions de paquets, la somme des produits obtenue au final vaut \binom n 2=\dfrac {n(n-1)}2

L'entier qui conduit à 2031120 est donc \large \red 2016

Posté par
EchoIsON
re : Des timbres en pagaille 01-04-16 à 23:28

gagnéBonsoir.

2016.

Posté par
carita
re : Des timbres en pagaille 02-04-16 à 14:44

gagnébonjour

N = nombre de timbres
S = somme des produits
on a la relation :   S = N(N-1)/2

Combien de timbres Stampy a-t-il dans sa collection ?

avec S = 2031120, on trouve N = 2016

Merci Littleguy !

Posté par
LEGMATH
re : Des timbres en pagaille 02-04-16 à 15:27

gagnéBonjour littleguy ,

Stampy a 2016 timbres dans sa collection.

Merci.

Posté par
sbarre
re : Des timbres en pagaille 02-04-16 à 15:32

gagnéBonjour,
après avoir constaté sur des petits volumes de timbres que peut importe la façon dont on répartit les tas, le résultat final est toujours le même pour une quantité de timbres donnée, il était facile de constater qu'en enlevant un timbre à chaque fois, on obtient la somme des n-1 premiers entiers naturels pour n timbres, ce qui fait n(n-1)/2.

En prenant la racine carrée du double de 2031120 on obtient 2015.5 environ ce qui permet d'affirmer que Stampy possède 2016 timbres (ce qui est une sacrée coïncidence...).

Merci et à bientôt.

Posté par
Alexique
re : Des timbres en pagaille 02-04-16 à 17:25

gagnéBonjour,

je propose 2016 timbres !

En fait, si on montre que le résultat est le même si on scinde nos paquets à chaque étape de manière quelconque ou en le faisant de la façon 1:n-1 alors on a
1x(n-1)+1x(n-2)+...+1=2031120 d'où n(n-1)/2=2031120 d'où n=2016.  Et je laisse ça à d'autres

Merci pour l'énigme !

Posté par
vham
re : Des timbres en pagaille 02-04-16 à 18:51

gagnéBonjour,

2016 timbres

Posté par
dpi
re : Des timbres en pagaille 03-04-16 à 20:38

gagnéBonjour
En simulant on arrive autour de 2000
En partant des N paquets de 1 on remonte à
N(N-1)/2 = 2031120
soit N²-N- 4062240 = 0  qui donne N= 2016

Posté par
eliseothniel
re : Des timbres en pagaille 06-04-16 à 12:12

perduLa réponse est 2015 timbres.

Explications:
Pour n timbres (n>0), on a toujours n-1 division de sorte à avoir uniquement des tas de 1 timbre.
En d'autres termes, pour n timbres donnés, quelque soit le nombre de timbres dans chaque tas après un partage, au final le nombre de tas de 1 timbre est toujours égal à n-1.

En revenant à l'énigme, dans le meilleur des cas, lors du partage, Stampy fait à chaque fois un tas de 1 et un tas de n-1.
Ce qui veut dire que lors du premier partage, il a (n-1)1.
Lors du second, il réapplique le même algo donc il a: (n-2)1.
Lors du k-ième partage, il aura (n-k)1.

Or k variant de 1 à n-1 (nombre de tas de 1 possible), on remarque que la somme des produit n'est que la somme des n entiers consécutifs de 1 à n-1.
Donc \sum_{1}^{n-1}{i} = 2031120
\frac{n(n+1)}{2} = 2031120
n^{2}+n = 4062240
n^{2}+n - 4062240 = 0
n= 2015 ou n= -2016

Or n>0 donc n= 2015

Posté par
Achdeuzo
re : Des timbres en pagaille 06-04-16 à 19:01

gagnéBonjour

Si mes calculs sont bons, Stampy a 2016 timbres dans sa collection.

Merci pour cette énigme !

Posté par
Lionelink
re : Des timbres en pagaille 09-04-16 à 02:04

gagné2016

Posté par
AllEn
re : Des timbres en pagaille 09-04-16 à 02:05

gagnéBonsoir,
Je pense que Stampy a 2016 timbres dans sa collection!
2016 mais quel hasard

Posté par
Chatof
re : Des timbres en pagaille 11-04-16 à 19:41

gagné2016

Bonjour et merci Littleguy

Posté par
rutabaga
re : Des timbres en pagaille 14-04-16 à 21:10

gagnéStampy a 2016 timbres !
Merci pour l'énigme

Posté par
benmagnol
re : Des timbres en pagaille 17-04-16 à 13:53

gagnéBonjour
Enigme intéressante
Je n'aurais pas imaginé que le choix aléatoire des paquets permette de retomber toujours sur la même somme de produits.
Je trouve 2016 pour le nombre de timbres au départ.
Merci pour les bonnes heures passées à pythoner sur le sujet...
Benoît Combes

Posté par
jugo
re : Des timbres en pagaille 18-04-16 à 09:41

gagnéBonjour,

Le total qu'il obtient pour n timbres est la somme des n-1 premiers entiers, càd n(n-1)/2.
On cherche donc n(n-1)/2 = 2 031 120, et on trouve n  =2016.

Stampy a 2016 timbres dans sa collection.

Posté par
albatros44
re : Des timbres en pagaille 20-04-16 à 21:22

gagnéBonjour

Il y a 2016 timbres

Bonne journée

Posté par
littleguy
re : Des timbres en pagaille 22-04-16 à 21:15

Clôture de l'énigme.

Bravo à tous, y compris à ceux qui ont été un peu étourdis au moment de conclure.  

Posté par
littleguy
re : Des timbres en pagaille 22-04-16 à 21:24

.... Et encore une victoire pour masab !

Bravo aussi à rschoon,  torio, derny et LittleFox pour leur sans-faute.

Merci à tous.

Posté par
pikopi
re : Des timbres en pagaille 01-06-16 à 13:33

2016 timbres au départ

Posté par
boubou1998
re : Des timbres en pagaille 03-06-16 à 15:18

il possède alors 2016 timbres

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
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Temps de réponse moyen : 104:39:34.
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