Inscription / Connexion Nouveau Sujet

1 2 +


Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 17-06-21 à 08:36

Donne moi un t \ne 2k\pi/n tel que e^{it}=e^{i0}

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 17-06-21 à 11:04

Citation :
C'est pourtant le même argument dans les deux cas.

????

Posté par
GBZM
re : description des racines nièmes de l'unité, 17-06-21 à 11:51

Dictionnaire Larousse :

Citation :
Argument, nom masculin (latin argumentum). Raisonnement, preuve destinés à appuyer une affirmation : Des arguments convaincants.

Posté par
GBZM
re : description des racines nièmes de l'unité, 17-06-21 à 14:19

L'unique argument que tu emploies, c'est le fait que la fonction f est 2\pi périodique. Je te montre que ce n'est pas un argument suffisant pour établir l'équivalence entre f(nt)=f(0)  et nt\equiv 0 \pmod{2\pi}

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 17-06-21 à 17:09

ok ce n'est pas un argument suffisant. Mais si je dis que e^{int}=e^{i0} \iff t\equiv 0 \pmod{2\pi} \iff \exists k \in \Z, t=2k\pi/n, sans dire que la fonction t->e^{int} est 2\pi périodique, j'ai juste non?

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 17-06-21 à 18:31

Citation :
on peut décrire entièrement l'ensemble des racines nièmes de l'unité qui valent e^{2ik\pi/n}en prenant des k\in {\{m;m+1;...;m+n-1\}}

ici, I=[0;n], pour tout entier relatif  k\in [m;m+n-1], il existe un unique entier relatif r tel que  k\equiv r \pmod{n},  donc on a à  la fois l'existence et l'unicité de la propriété suivante :  on peut décrire entièrement l'ensemble des racines nièmes de l'unité qui valent e^{2ik\pi/n} 
 \\  en prenant des  k\in {\{m;m+1;...;m+n-1\}}

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 17-06-21 à 19:19

Je me demande si on peur montrer la propriété de ce sujet en utilisant la division euclidienne :
Soit n \in \N*,\forall k \in [[m;m+n-1]], \exists! r \in [0,n], q\in \Z, k=qn+r
\iff e^{2ik\pi/n}=e^{2i(qn+r)\pi/n} \iff e^{2ik\pi/n}=e^{2ir\pi/n}*e^{2i\pi*q}
\iff e^{2ik\pi/n}=e^{2ir\pi/n}
\iff \exists k0, 2k\pi/n=2r\pi/n+2k0\pi
\iff \exists k0, k=r+k0*n
\iff \exists k0, k-r=k0*n
Comme on l'a montré plus haut, k et r ne peuvent pas être un multiple  non nul de n car ils appartiennent tous deux au même ensemble d'entiers consécutifs et il y en a n :  m+n-1-(m-1)
la différence de la plus grande à la plus petite vaut n-1 < n
, donc ils sont égaux

\iff k=r
je me demande si les équivalences sont correctes...

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 17-06-21 à 20:04

Citation :
Pour tout k,k'\in[m,m+n-1] avec m\le k<k'\le m+n-1 on a :

0< k'-k\le n-1

donc \exp\left[i\dfrac{2(k'-k)\pi}{n}\right]\ne 1\iff\exp\left[i\dfrac{2k'\pi}{n}\right]\ne\exp\left[i\dfrac{2k\pi}{n}\right]


mousse42, comment tu prouves que :
\exp\left[i\dfrac{2(k'-k)\pi}{n}\right]\ne 1
est-ce grâce à la périodicité de t->e^{it}?

1 2 +




Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1472 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !