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Niveau Reprise d'études
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description des racines nièmes de l'unité,

Posté par
sgu35
10-06-21 à 17:00

Bonjour, je cherche à montrer que l'on peut décrire entièrement l'ensemble des racines nièmes de l'unité qui valent e^{2ik\pi/n}en prenant des k\in {\{m;m+1;...;m+n-1\}}

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 10-06-21 à 17:01

avec m un entier positif quelconque

Posté par
Aalex00
re : description des racines nièmes de l'unité, 10-06-21 à 17:54

Bonjour,

Tu peux par exemple montrer les points suivants :
• tes n candidats sont bien racines n èmes de l'unité
• tes n candidats sont distincts
• il y a au plus n racines n èmes de l'unité

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 10-06-21 à 17:58

comment montrer qu'ils sont distincts?

Posté par
Aalex00
re : description des racines nièmes de l'unité, 10-06-21 à 18:05

A quelle condition a-t-on e^{\frac{2i\pi k}{n}}=1, où k varie dans les entiers ?

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 10-06-21 à 18:16

lorsque k \equiv 0 \pmod n

Posté par
Aalex00
re : description des racines nièmes de l'unité, 10-06-21 à 18:18

Oui, et alors avec cet argument et en écrivant les choses tu devrais pouvoir conclure.

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 10-06-21 à 18:30

j'essaie une démonstration :
supposons e^{2ik\pi/n}=e^{2ik'\pi/n}
alors k-k'=k0*n où k0 est un entier relatif.
si on suppose que k et k' appartiennent à \{m;m+1;...;m+n-1\},
alors m\le k\le m+n-1 et m\le k'\le m+n-1
donc -m\re k'\re 1-m-n soit 1-m-n\le k'\le -m
d'où  1-n \le k-k'\le n-1
soit  -n<k-k'<n
donc   k=k'.
on a bien montré que
k= k' \Longleftrightarrow e^{2ik\pi/n} = e^{2ik'\pi/n}
donc en prenant les négations :
k\ne k' \Longleftrightarrow e^{2ik\pi/n} \ne e^{2ik'\pi/n}

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 10-06-21 à 18:33

Citation :
Oui, et alors avec cet argument et en écrivant les choses tu devrais pouvoir conclure.

comment ça?

Posté par
Aalex00
re : description des racines nièmes de l'unité, 10-06-21 à 18:42

sgu35

Citation :
Oui, et alors avec cet argument et en écrivant les choses tu devrais pouvoir conclure.

comment ça?
Modulo les erreurs de frappes dans ton message de 18:30, c'est ce que tu as fais non ?

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 10-06-21 à 19:53

quelles erreurs de frappe ai-je fait?

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 10-06-21 à 19:59

supposons e^{2ik\pi/n}=e^{2ik'\pi/n}
alors k-k'=k0*n où k0 est un entier relatif.
si on suppose que k et k' appartiennent à \{m;m+1;...;m+n-1\},
alors m\le k\le m+n-1 et m\le k'\le m+n-1
donc -m\ge -k'\ge 1-m-n soit 1-m-n\le -k'\le -m
d'où  1-n \le k-k'\le n-1
soit  -n<k-k'<n
donc   k=k'.
on a bien montré que
k= k' \Longleftrightarrow e^{2ik\pi/n} = e^{2ik'\pi/n}
donc en prenant les négations :
k\ne k' \Longleftrightarrow e^{2ik\pi/n} \ne e^{2ik'\pi/n}

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 10-06-21 à 20:03

oui j'ai fait quelques erreurs : le symbole supérieur ou égal \ge et les signes - devant les k'.

Posté par
Aalex00
re : description des racines nièmes de l'unité, 10-06-21 à 20:14

Oui c'était de petites erreurs Sinon, je ne vois pas de faute mathématique.

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 10-06-21 à 20:21

ok merci!

Posté par
mousse42
re : description des racines nièmes de l'unité, 11-06-21 à 00:18

Salut

Vous êtes sûr que c'est correct?

Il me semble qu'il faut montrer que \Large \forall k'\in [\![m,m+n-1]\!], \exists ! k\in [\![0,n-1]\!],\;\;e^\frac{i2k'\pi}{n}=e^\frac{i2k\pi}{n}

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 11-06-21 à 08:15

Et comment tu montrerais ça mousse42?

Posté par
Aalex00
re : description des racines nièmes de l'unité, 11-06-21 à 08:47

Aalex00 @ 10-06-2021 à 17:54

Bonjour,

Tu peux par exemple montrer les points suivants :
• tes n candidats sont bien racines n èmes de l'unité
• tes n candidats sont distincts
• il y a au plus n racines n èmes de l'unité


Il me semble qu'une fois ces 3 points montrés on a trouvé une expression des n racines n èmes.
Par définition une racine n ème de l'unité est une racine complexe du polynôme X^n-1. Ensuite, on montre généralement qu'il s'agit des e^\frac{2ik\pi}{n} pour 0\leq k<n.

Posté par
matheuxmatou
re : description des racines nièmes de l'unité, 11-06-21 à 10:21

bonjour

et puis deux racines (avec k et k' distincts) sont égales ssi k'-k est un multiple non nul de n...

or tes valeurs de k se baladent dans un ensemble d'entiers consécutifs et il y en a n :  m+n-1-(m-1)

la différence de la plus grande à la plus petite vaut n-1 < n

donc on voit mal comment la différence de 2 valeurs de cet ensemble pourrait être un multiple non nul de n, et donc n

Posté par
mousse42
re : description des racines nièmes de l'unité, 11-06-21 à 13:51

sgu35 @ 11-06-2021 à 08:15

Et comment tu montrerais ça mousse42?

Si tu considères que \{z\in \C : z^n=1\}=\{e^{i\frac{2k\pi}{n}} : k\in [0,n-1]\cap \N\} comme acquis (un résultat de ton cours),  il reste à montrer que : pour tout m\ge 1, [m,m+n-1]\cap \N est un système de représentant.

Posté par
mousse42
re : description des racines nièmes de l'unité, 11-06-21 à 16:50

Je viens m'apercevoir que tout a été dit par matheuxmatou

Posté par
mousse42
re : description des racines nièmes de l'unité, 11-06-21 à 16:56

mousse42 @ 11-06-2021 à 00:18

Salut

Vous êtes sûr que c'est correct?

Il me semble qu'il faut montrer que \Large \forall k'\in [\![m,m+n-1]\!], \textcolor{red}{\exists !} k\in [\![0,n-1]\!],\;\;e^\frac{i2k'\pi}{n}=e^\frac{i2k\pi}{n}


Pour résumer l'existence vient de la division euclidienne.
L'unicité est donnée par matheuxmatou

matheuxmatou @ 11-06-2021 à 10:21

bonjour

et puis deux racines (avec k et k' distincts) sont égales ssi k'-k est un multiple non nul de n...

or tes valeurs de k se baladent dans un ensemble d'entiers consécutifs et il y en a n :  m+n-1-(m-1)

la différence de la plus grande à la plus petite vaut n-1 < n

donc on voit mal comment la différence de 2 valeurs de cet ensemble pourrait être un multiple non nul de n, et donc n

Posté par
carpediem
re : description des racines nièmes de l'unité, 11-06-21 à 18:07

salut

cet exo se déduit immédiatement de celui-là : congruences et intervalles semi-ouvert

...

Posté par
Aalex00
re : description des racines nièmes de l'unité, 11-06-21 à 22:54

Aalex00 @ 10-06-2021 à 17:54

Bonjour,

Tu peux par exemple montrer les points suivants :
• tes n candidats sont bien racines n èmes de l'unité
• tes n candidats sont distincts
• il y a au plus n racines n èmes de l'unité

Sans vouloir paraître insistant (j'accepte de m'être trompé si c'est le cas), qu'est ce qui n'est pas suffisant dans ceci mousse42 ?
De plus tu proposes à sgu35 de montrer que l'ensemble des n candidats qu'il dispose sont  exactement l'expression "canonique" des racines n èmes de l'unité. Puis tu considère
mousse42 @ 11-06-2021 à 13:51

Si tu considères que \{z\in \C : z^n=1\}=\{e^{i\frac{2k\pi}{n}} : k\in [0,n-1]\cap \N\} comme acquis (un résultat de ton cours)
N'est-il pas plus simple de proposer une preuve montrant directement l'égalité avec \{z\in \C : z^n=1\}, sans passer par \{e^{i\frac{2k\pi}{n}} : k\in [0,n-1]\cap \N\} ? (Dis moi si j'ai loupé un détail dans ton raisonnement, je ne viens rien contredire.)

Posté par
mousse42
re : description des racines nièmes de l'unité, 11-06-21 à 23:24

Aalex00 : J'ai lu la demo de sgu35, et j'ai pas trop compris ce qu'il montre et ça me paraissait peu compliqué...c'est tout.

le gros de la démo c'est k,k'\in[m,m+n-1] avec m\le k<k'\le m+n-1

On a  0< k'-k\le n-1 et c'est fini.

Mais je n'ai pas fait de remarque sur ton raisonnement

Posté par
mousse42
re : description des racines nièmes de l'unité, 11-06-21 à 23:49

je vais donner la totalité de ma démo

On s'appuie sur  \{z\in \C : z^n=1\}=\{e^{i\frac{2k\pi}{n}} : k\in [0,n-1]\cap \N\}

On sait que pour tout k\in [m,m+n-1] , il existe r\in [0,n-1] tel que k=r\pmod n (division euclidienne)

unicité :

Pour tout k,k'\in[m,m+n-1] avec m\le k<k'\le m+n-1 on a :

0< k'-k\le n-1

donc \exp\left[i\dfrac{2(k'-k)\pi}{n}\right]\ne 1\iff\exp\left[i\dfrac{2k'\pi}{n}\right]\ne\exp\left[i\dfrac{2k\pi}{n}\right]

et $Card$ [m,m+n-1]=$Card$[0,n-1]

Posté par
carpediem
re : description des racines nièmes de l'unité, 12-06-21 à 11:54

mousse42 @ 11-06-2021 à 23:49

On s'appuie sur  \{z\in \C : z^n=1\}=\{e^{i\frac{2k\pi}{n}} : k\in [0,n-1]\cap \N\}
ben non il me semble car c'est ce qu'il faut démontrer entre autre ...

et je ne comprends pas tout ce pataquès pour pas grand chose ...

une fois qu'on a justifié que le module est 1 et sachant que la fonction est 2pi-périodique

z^n = 1 \iff e^{it} = e^{i2\pi} \iff t = k \dfrac {2\pi} n $  avec  $ k \in [[p, q]]  \forall (p, q) \in \Z^2  /  q - p = n - 1

et cela provenant du lien que j'ai donné ... en écrivant la division euclidienne de p et q par n ...

et ton cas particulier est (p, q) = (0, n - 1)

...

Posté par
mousse42
re : description des racines nièmes de l'unité, 12-06-21 à 12:48

oui, c'est vrai, au final c'est plus compliqué ce que je propose

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 14-06-21 à 08:39

Citation :
donc on voit mal comment la différence de 2 valeurs de cet ensemble pourrait être un multiple non nul de n, et donc \ge  n

et aussi il ne pourrait pas être \le n

Posté par
matheuxmatou
re : description des racines nièmes de l'unité, 14-06-21 à 12:12

?????

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 14-06-21 à 17:34

Citation :
et aussi il ne pourrait pas être \le n

c'est plutôt \le -n

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 14-06-21 à 20:05

Citation :
z^n = 1 \iff e^{it} = e^{i2\pi} \iff t = k \dfrac {2\pi} n $  avec  $ k \in [[p, q]]  \forall (p, q) \in \Z^2  /  q - p = n - 1

Là je ne comprends pas pourquoi t = k \dfrac {2\pi} n...
et il me semble que e^{i2\pi} vaut 1

Posté par
carpediem
re : description des racines nièmes de l'unité, 14-06-21 à 21:01

j'ai oublié un n :

carpediem @ 12-06-2021 à 11:54

z^n = 1 \iff e^{int} = e^{i2\pi} \iff t = k \dfrac {2\pi} n $  avec  $ k \in [[p, q]]  \forall (p, q) \in \Z^2  /  q - p = n - 1

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 14-06-21 à 21:08

mais e^{i2\pi}=e^{i0}=1 et donc nt \equiv 0 \pmod {2\pi}

Posté par
carpediem
re : description des racines nièmes de l'unité, 15-06-21 à 08:33

e^{i0} = e^{i(0 + k2\pi)} ...

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 15-06-21 à 08:42

0=2k\pi+2k'\pi donc k'=-k.

Posté par
carpediem
re : description des racines nièmes de l'unité, 15-06-21 à 08:44

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 15-06-21 à 08:46

Je veux dire que ce n'est pas nécessaire d'écrire :
e^{int}=e^{i2\pi}
plutôt écrire e^{int}=e^{i0}

Posté par
carpediem
re : description des racines nièmes de l'unité, 15-06-21 à 09:02

ben si c'est nécessaire :

k \dfrac {2\pi} n donne autre chose que k \dfrac 0 n lorsque k varie ...

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 16-06-21 à 07:59

exp est 2pi périodique, donc e^{int}=e^0 \iff nt \equiv 0 \pmod {2\pi} \iff t=2k\pi/n

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 16-06-21 à 08:01

ou bien e^{i0} à la place de e^0

Posté par
GBZM
re : description des racines nièmes de l'unité, 16-06-21 à 09:43

Bonjour,

sgu35 @ 16-06-2021 à 07:59

exp est 2pi périodique, donc e^{int}=e^0 \iff nt \equiv 0 \pmod {2\pi} \iff t=2k\pi/n


Pas mal d'erreurs. Déjà, \exp n'est pas 2\pi-périodique, c'est t\mapsto \exp(it) qui est 2\pi-périodique. Ensuite, ceci a pour conséquence que x\equiv 0\pmod{2\pi} \implies \exp(ix)=1, mais on ne peut pas en déduire l'implication réciproque. Par exemple, \sin est 2\pi-périodique, mais \sin(x)=\sin(0) n'entraîne pas x\equiv 0\pmod{2\pi}.

sgu35, j'ai l'impression que tu as une fâcheuse tendance à t'embrouiller toi-même !

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 16-06-21 à 13:03

OK pour exp n'est pas 2\pi périodique, sin(x)=sin(0) entraine  x \equiv 0 \pmod {2\pi}  ou  x \equiv \pi - 0 \pmod {2\pi}
mais par contre exp(ix)=1   n'implique pas   x\equiv 0\pmod{2\pi}, je ne comprend pas

Posté par
GBZM
re : description des racines nièmes de l'unité, 16-06-21 à 15:52

As-tu relu ce que tu as écris ?

sgu35 @ 16-06-2021 à 07:59

exp est 2pi périodique, donc e^{int}=e^0 \iff nt \equiv 0 \pmod {2\pi} \iff t=2k\pi/n


Citation :
sin est 2pi périodique, donc \sin(nt)=\sin(0) \iff nt \equiv 0 \pmod {2\pi} \iff t=2k\pi/n

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 16-06-21 à 15:59

Citation :
sgu35 @ 16-06-2021 à 07:59

exp est 2pi périodique, donc e^{int}=e^0 \iff nt \equiv 0 \pmod {2\pi} \iff t=2k\pi/n

->ça je trouve que c'est juste

Citation :
Citation :
sin est 2pi périodique, donc \sin(nt)=\sin(0) \iff nt \equiv 0 \pmod {2\pi} \iff t=2k\pi/n

->ça c'est faux

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 16-06-21 à 16:03

Citation :
Citation :
sgu35 @ 16-06-2021 à 07:59

exp est 2pi périodique, donc e^{int}=e^0 \iff nt \equiv 0 \pmod {2\pi} \iff t=2k\pi/n



je corrige un peu :  t\mapsto \exp(it) est 2\pi-périodique. donc   e^{int}=e^{i0} \iff nt \equiv 0 \pmod {2\pi} \iff t=2k\pi/n

Posté par
GBZM
re : description des racines nièmes de l'unité, 16-06-21 à 16:04

C'est pourtant le même argument dans les deux cas.

Citation :
Citation :
f est 2pi périodique, donc f(nt)=f(0) \iff nt \equiv 0 \pmod {2\pi} \iff t=2k\pi/n


Le deuxième exemple montre que l'argument n'est pas correct.

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 17-06-21 à 08:00

Citation :
Le deuxième exemple montre que l'argument n'est pas correct


????

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 17-06-21 à 08:26

Qu'est-ce qu'un argument?

Posté par
sgu35
re : description des racines nièmes de l'unité, 17-06-21 à 08:30

L'argument de f(nt) est nt?

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