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Det matrice

Posté par
loshleo
04-03-21 à 17:39

Bonjour,
Déterminer le déterminant de la matrice suivante:
1 10 0 0
10 1 0 0
0 0 1 10
0 0 10 1
Je pourrais effectuer la méthode de calcul de déterminant de Laplace mais elle est assez longue et on m'a dit qu'il y a une technique.

Posté par
matheuxmatou
re : Det matrice 04-03-21 à 17:41

bonjour

on peut développer par rapport aux colonnes qui contiennent un seul 1 ...

Posté par
loshleo
re : Det matrice 04-03-21 à 17:44

J'ai peut-être pas assez espacé mais dans chaque colonne il y a 2 nombres (1 et 10).
L'aide c'est notamment d'utiliser le determinant au carré.
Je ne suis pas très à l'aise avec les propriétées du déterminant.

Posté par
lafol Moderateur
re : Det matrice 04-03-21 à 17:45

Bonjour
ta matrice est illisible
recopie (un bon vieux copié/collé) le texte suivant en mettant tes nombres à la place de a b c etc :

[tex]\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\i&j&k&l\\m&n&o&p\end{pmatrix} [/tex]

ça te donnera \begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\i&j&k&l\\m&n&o&p\end{pmatrix}

Posté par
loshleo
re : Det matrice 04-03-21 à 17:48

\begin{pmatrix}1&10&0&0\\10&1&0&0\\0&0&1&10\\0&0&10&1\end{pmatrix}

Posté par
lafol Moderateur
re : Det matrice 04-03-21 à 17:53

d'ailleurs pour un déterminant, tu peux remplacer le p de pmatrix (aux deux endroits où il apparait) par un v (vmatrix) (p comme parenthèses, v comme verticales, on peut aussi mettre un b pour brackets [] ou rien pour juste un tableau de nombres sans encadrement)

Posté par
matheuxmatou
re : Det matrice 04-03-21 à 17:53

ah d'accord ! je ne lisais pas ça du tout !

Posté par
lafol Moderateur
re : Det matrice 04-03-21 à 17:56

salut matheux
au premier abord, je l'ai aussi crue composée de 1 et de 0, jusqu'à ce que je réalise qu'elle n'avait que 4 lignes

Posté par
matheuxmatou
re : Det matrice 04-03-21 à 17:58

tu peux ajouter les 3 dernières colonnes à la première

puis soustraire la première ligne aux autres

ça fera déjà un peu le ménage

Posté par
matheuxmatou
re : Det matrice 04-03-21 à 17:59

lafol
bonjour...

moi aussi, d'où ma remarque !

Posté par
loshleo
re : Det matrice 04-03-21 à 18:10

On a le droit de faire ça , ça ne change pas la valeur du déterminant ?
J'additionne les 3 dernières colonnes à la première:
\begin{pmatrix}1+10&10&0&0\\10+1&1&0&0\\1+10&0&1&10\\10+1&0&10&1\end{pmatrix}
Je soustrais la première ligne aux autres:
\begin{pmatrix}11&10&0&0\\0&-9&0&0\\0&-10&1&10\\0&-10&10&1\end{pmatrix}
Quelqu'un avait proposé de décomposé la matrice en 4 matrices 2x2 et que le déterminant serait le déterminant au carré de la matrice 2x2 suivante :
1       10
10     1
Est-ce juste et si oui, pourquoi on a le droit d'écrire ça ?

Posté par
matheuxmatou
re : Det matrice 04-03-21 à 18:14

on va arrêter avec le "y'a quelqu'un qui m'a dit ..." et poursuivre le calcul tel que commencé.

on détaillera l'autre solution ensuite

donc maintenant commence à calculer le déterminant en développant par rapport à la première colonne

et avec le 3x3 qui va en découler par rapport à la première ligne

Posté par
loshleo
re : Det matrice 04-03-21 à 18:22

D'accord...
11\begin{vmatrix}-9&0&0\\-10&1&10\\-10&10&1\end{vmatrix}
-10\begin{vmatrix}0&0&0\\0&1&10\\0&10&1\end{vmatrix}
=
[11*(-9)(1-100)]

Posté par
matheuxmatou
re : Det matrice 04-03-21 à 18:25

la première colonne !

directement :


det(A) =11 \;  \begin{vmatrix}-9&0&0\\-10&1&10\\-10&10&1\end{vmatrix}=[11*(-9)(1-100)]= \cdots

Posté par
loshleo
re : Det matrice 04-03-21 à 18:27

Ah oui effectivement.
Maintenant, a t'on le droit d'effectuer ces opérations sur la matrice, cela ne change pas son déterminant ?
Et concernant l'autre méthode ?

Posté par
matheuxmatou
re : Det matrice 04-03-21 à 18:28

bon ensuite, on effectivement une propriété, mais encore faut-il que tu la connaisses :

si A=\begin{pmatrix} P & 0 \\ R & Q \end{pmatrix}

avec
P matrice carrée d'ordre p
Q matrice carrée d'ordre q=n-p

(le "0" représente une matrice nulle)

alors

det(A) = det(P) det(Q)

Posté par
matheuxmatou
re : Det matrice 04-03-21 à 18:29

loshleo

ah ben là faut apprendre le cours sur les déterminants !

Posté par
loshleo
re : Det matrice 04-03-21 à 18:31

Très bien

Posté par
matheuxmatou
re : Det matrice 04-03-21 à 18:32

avec plaisir

Posté par
Ulmiere
re : Det matrice 04-03-21 à 19:06

Sinon, en notant L_1,L_2,L_3,L_4 les 4 lignes de la matrice, le déterminant est le même que celui de \begin{pmatrix}L_1\\L_2-10L_1\\L_3\\L_4-10L_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&10&0&0\\0&-99&0&0\\0&0&1&10\\0&0&0&-99\end{pmatrix}, qui est une matrice triangulaire supérieure. Donc son déterminant est le produit de la diagonale, i.e 99^2 = 9801

Posté par
carpediem
re : Det matrice 04-03-21 à 19:38

salut

M = \begin{pmatrix}1&10&0&0\\10&1&0&0\\0&0&1&10\\0&0&10&1\end{pmatrix}

loshleo @ 04-03-2021 à 17:39

Je pourrais effectuer la méthode de calcul de déterminant de Laplace mais elle est assez longue et on m'a dit qu'il y a une technique.
ouais enfin en développant suivant la première colonne on a immédiatement (c'est presque du calcul mental) :

1 * (-1)^2 * 1 * (-1)^2 * (1 * 1 - 10 * 10) + 10 * (-1)^3 * 10 * (-1)^2 * (1 * 1 - 10 * 10) = (100 - 1) * 99 = ...

et ça nous fait réviser/travailler la formule de développement suivant une colonne ...

et puis ici même encore plus directement on applique
matheuxmatou @ 04-03-2021 à 18:28

bon ensuite, on effectivement une propriété, mais encore faut-il que tu la connaisses :

ici M=\begin{pmatrix} P & 0 \\ 0 & P \end{pmatrix}

et M est ""diagonale""  donc  \det(A) = \det(P)^2


Posté par
matheuxmatou
re : Det matrice 04-03-21 à 22:15

carpediem
oui, ici c'est un cas particulier de cas particulier !
je lui citait la règle plus générale à toute fin utile



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