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La réponse la plus bourrine, c'est surement calculer cos(pi/5) en faisant X^5=1 a résoudre dans C soit X^4+X^3+X^2+X+1=0 en posant x=X+1/X ca se fait facilement mais c'est très laid, je regarde si j' ai une belle méthode

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On sait que les diagonales du triangle de pascal génère des polynômes dont cos(pi/n) sont racines. On prend la 5ème et on forme x²-3x+1=0 qui possède comme racines 4cos²(pi/5) et 4cos²(2pi/5), on en détermine alors facilement leur valeur et on conclut.

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je vais essayer d'écrire un peu moins de sottises qu'hier
si z est une racine cinquième de -1 (1)
pour z=[1;/5]
(1)<=>
on écrit que la partie réelle du membre de gauche est nulle on obtient cos(4/5)-cos(3/5)+cos(2/5)-cos(/5)+1=0
soit-2cos(/5)+2cos(2/5)+1=0
on en déduit
             cos(/5)-cos(2/5)=1/2
merci pour cette gymnastique trigonométrique  et bonne journée