Niveau exercices

[détente]_JFF_Gymnastique algébrique_25

Posté par
mikayaou 07-07-08 à 22:48

Bonjour,

Une tite JFF pour cette île qui vivote doucement...

Citation :

Soit une grille carrée de N lignes par N colonnes comportant donc N² cases.

Les cases de cette grille sont numérotées dans l'ordre naturel d'écriture de 1 jusqu'à N² :
la première ligne est : 1 2 3 4 ... N,
la deuxième ligne est : N+1 N+2 N+3 N+4 ... 2N
et ainsi jusqu'à la Nième ligne qui se terminera avec la case contenant N²

On choisit maintenant N nombres dans cette grille en n'en prenant qu'un seul par ligne et par colonne, et on s'intéresse alors à la somme S de ces N nombres.

Deux questions :
¤ Combien vaut cette somme S si les N nombres sont sur la diagonale descendante issue du 1 ?
¤ Entre quelles valeurs, minimale et maximale, sera comprise la somme S si ces N nombres sont choisis - toujours en n'en prenant qu'un seul par ligne et par colonne- mais totalement au hasard ?

Au moins, pour le début, répondez en blanqué : les autres participants vous en remercient ...

Nota :

N'hésitez pas à mettre, en blanqué, le détail de votre démonstration : ça me permettra d'y faire référence en mettant le lien pour présenter les différentes solutions proposées
( et ça me simplifiera la correction

)

Merci aux habitués des non blanqués ( dont il m'arrive de faire partie

) d'utiliser le bouton [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_25

avant de

tout envoi :
ça évitera les recours aux modos pour blanquer ce qui a été omis de l'être...

Enjoy!

Posté par re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_25 07-07-08 à 23:00

Bonjour,

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Posté par re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_25 07-07-08 à 23:36

salut,

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Posté par re : [détente]_JFF_Gymnastique algébrique_25 07-07-08 à 23:46

Pour la question deux :

La somme sera maximale lorsque les N nombres choisis décrivent la diagonale descendante issue de 1.
De même, elle est minimale lorsque les N nombres choisis décrivent la diagonale descendante issue de N.
Sur un raisonnement analogue au précédent, je trouve : $S_{max}=\frac{N(N^2+1)}{2}$

On constate que le maximum de la somme est égal à son minimum, donc la somme S est constante telle que : $4$\red\fbox{S=\frac{N(N^2+1)}{2}}$

J'ai vérifié sur un exemple $4\time4$ et ça me semble correct

Merci bien pour la réflexion

PS : Si on reprend le même exercice dans l'espace avec une grille $N\time N$ ou carrément $N^N$ à mon avis ça donne toujours une somme constante mais bon à vérifier