Niveau Licence-pas de math

Déterminant

Posté par
Nerf 27-07-23 à 23:24

Bonsoir, j'ai besoin d'aide svp

Soit un endomorphisme $\phi = M\rightarrow M^T , M \in \mathcal {M} (\R)$

Déterminer le déterminant de $\phi$

Posté par re : Déterminant 27-07-23 à 23:27

C'est plutôt : $M \in \mathcal{M}_n(\R)$

Posté par re : Déterminant 28-07-23 à 00:55

Ça va. J'ai finalement trouvé. Je l'ai fait en décomposant M_n( $\R$ )comme somme directe de l'ensemble des matrices symétriques et des matrices antisymetriques.

Posté par re : Déterminant 28-07-23 à 20:06

Attention le déterminant d'une somme n'est pas la somme des déterminants, j'espère que tu n'as pas fait cette erreur grossière

Si tu veux utiliser ta décomposition il faut bien écrire les choses

1) se souvenir que le déterminant est un invariant de similitude : det(phi) est le déterminant de n'importe quelle matrice représentant phi, dans n'importe quelle base

2) choisir une bonne base de Mn(R). On peut effectivement, comme tu l'as remarqué, prendre $(S_1,S_2,\cdots, S_k, A_1,A_2,\cdots A_{n-k})$ où les $S_i$ sont symétriques et les $A_j$ sont antisymétriques. Comme $\phi(S_i) = S_i$ et $\phi(A_j) = -A_j$ , la matrice de $\phi$ dans cette base est $\begin{pmatrix} \\ I_k & 0\\ \\ 0 & -I_{n-k} \\ \end{pmatrix}$

3) et son déterminant est alors (matrice diagonale!) $1^k \times (-1)^{n-k}$

4) le sev dse matrices symétriques est de dimension k = ... (facile!) donc det(phi) = ...

-------

Sinon, sans passer explicitement par des bases, simplement remarquer que $X^2-1 = (X-1)(X+1)$ est un polynôme annulateur et scindé de $\phi$ donc $Sp(\phi) \subseteq\{-1,1\}$ . En fait c'est une égalité, parce que 1 est valeur propre, de vecteur propre associé $I_n$ et -1 est aussi valeur propre, de vecteur propre $-I_n$ .
Le lemme des noyaux dit que le polynôme caractéristique de $\phi$ est de la forme [tex](X-1)^k(X+1)^{n-k}[/tex. Reste simplement à expliquer pour quoi k vaut ce qu'il vaut

Posté par re : Déterminant 28-07-23 à 20:36

Il y a des petites coquilles, mais tu auras compris que n est à remplacer par $n^2$ presque partout dans mon pavé

J'en profite pour corriger "pour quoi" en "pourquoi" et $(X-1)^k(X+1)^{n^2-k}$