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Déterminant avec éléments diagonaux tous nuls
Bonjour, j'ai vu que cet exo est tombé à des oraux de concours.
J'ai d'abord essayé de développer par rapport à la dernière colonne pour faire apparaître Delta_(n-1), mais sans succès, puis ensuite j'ai fait des opérations sur les lignes : L_i+1 <— L_i+1 - L_i, ce qui donnait une matrice presque triangulaire ( sauf la première ligne) et ensuite j'ai développé par rapport à cette première ligne pour calculer mais j'ai pas un résultat satisfaisant.
Comment faire ?
Merci de votre aide !
Bonsoir,
Pour commercer :
1)ajoutez les n − 1 dernières colonnes à la première,la première colonne contient sur toute les ligne , mettez alors
en facteur de la première colonne. La première colonne est alors une colonne de 1.
2)retranchez ensuite la première ligne à toutes les autres .
Bonjour,
Encore une autre possibilité, qui demande un peu de familiarité avec les polynômes en plusieurs variables : le déterminant est un polynôme de degré total en les indéterminées
. Comme l'a fait remarquer phyelec ci-dessus, il s'annule si
, et il s'annule aussi si l'un des
est nul.
Ça nous fait pas mal de facteurs irréductibles de ce polynôme.
Bonjour,
Merci pour vos réponses !
J'ai finalement fait comme phyelec me l'a suggéré, on retranche la première colonne pour obtenir un déterminant triangulaire inférieur. Pour obtenir à la fin
Bonsoir,
Une autre piste :
les valeurs propres de la matrice sont -ai pour i de 1 à n . (justification simple) et
la dernière est obtenue via la trace.
Donc on obtient le même résultat pour le determinant cherché ( produit des valeurs propres).
Je n'ai pas trouvé de méthode plus simple ( basée sur une récurrence par exemple).
Bonne continuation
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