Je ne comprends pas vraiment ta question , veux tu savoir à quoi ça sert concrétement de calculer le déterminant d'une matrice ?


Jord

Désolée si ce n'est pas clair

En fait, je travaille sur des plans d'expérience D-optimaux.
(D comme déterminant donc)

Je cherche donc à comprendre en quoi il est "interessant" d'optimiser le déterminant de la matrice pour optenir mon plan d'expérience.

Cela veut certainement dire que le déterminant résume une caractéristique de la matrice, mais laquelle ?
Que représente ce nombre ?

(je ne suis pas sure d'être plus claire maintenant )

Le déterminant d'une famille de n vecteurs "de taille" n c'est une forme bilinéaire alternée. Notamment, on peut montrer qu'elle est unique à constante multiplicative près (l'ensemble des déterminants est isomorphe à une droite).
L'idée est qu'une matrice à coefficients dans un anneau A est inversible dans Mn(A), si et seulement si le déterminant est inversible également (dans A).
Dans le cas général, la non nullité du déterminant ne prouve donc pas l'inversibilité de la matrice, ca prouve juste qu'elle est inversible à gauche (je crois que c'est à gauche, ca prouve l'inversibilité de l'application linéaire associée).

Ensuite on peut caractériser de plusieurs manières certaines matrices, notamment celles de déterminant 1 ou -1 par exemple, ou de manière plus générale, celles dont la norme du déterminant est 1.
On peut montrer que certaines de ces matrices se comportent "bien", notamment les matrices hermitiennes.
En fait, quelle est la question particulière que tu te poses?

J'ai dit forme bilinéaire, c'est faux bien entendu, je voulais dire forme n-linéaire. n étant le nombre de vecteurs.