euh j ai oublié de dire que la matrice avait tous ses coefficient positifs.

Bonjour,

juste une idée : une matrice à diagonale dominante et à termes positifs n'aurait-elle pas ses valeurs propres strictement positives ?

Bonjour c-jay7

indication : pour x un réel positif, que peux-tu dire de la matrice A+xI ?

Kaiser

Bonjour jamo !

Bonjour Jamo.

Mais on ne sait pas si elle est diagonalisable dans R?

Bonjour Kaiser.


A+xI sera aussi a diagonale dominante, donc inversible.

donc A nadmet pas de valeurs propores negatives.

donc les valeurs propores relles de A sont positives

Det = produit des valeurs propres. donc Det >0

Merci

jamo > pourrais-tu détailler ? (je ne connais pas ce résultat)
c-jay > Je poursuis avec mon idée : le déterminant de cette matrice est non nul pour tout x positif.
Maintenant, que peux-tu dire de l'application ?

Kaiser

kaiser >> en fait, c'était juste une idée de parler des valeurs propres, mais je ne suis pas certain du tout ...

si x une valeur propre negative, alors x=-a avec a positf

Ker(A+aI) sera donc non vide. or, A+aI est aussi a diagonale dominante, donc est inversible.

donc lhypothese de depart est fause, et A nadmet pas de valeurs propres negatives

jamo > OK !
c-jay > OK, mais elle pourrait très bien avoir des valeurs propres complexes non réelles. Comment fais-tu dans ce cas ?

Kaiser

comme la matrice est relle, alors sont determinant est reel.
pour les valeurs propres complexes, elles sont toutes non nuls(inversibilité de A)
On ecrit ces valeurs propres sous la forme trigonometrique( r.exp(ib) )
la somme des arguments etant congru a 0 modulo Pi.
oui, ca ne marche pas si c est congru a Pi modulo 2Pi

En fait, je posais cette question pour savoir comment tu allais réagir : si a est une valeur propre complexe de A, qui est aussi valeurs propre de A (sachant que la matrice est réelle) ?

Kaiser

si x une valeur propre complexe de A, sa conjuguée aussi.( matrice A relle)
et donc les valeurs proprs complex sont conjuguées. et donc la somme des arguments est nulle modulo 2Pi, donc le determinant est positif.

Oui tu peux aussi dire que le produit d'une valeur propre complexe non réel par son conjuguée vaut |a|² qui est positif.

Kaiser

oui. Mais sinon comment tu comptais faire avec ton application x->det(A+xI)

elle est deja polynomiale en x, donc continue, et ne sannule pas sur R+, donc garde un signe constant sur R+,
le coefficient en x^(n) est 1, donc elle tend vers +linfini en +linfini

donc elle reste positive sur R+, et donc par continuité, elle est positive en 0, donc DetA>0
c est ca?

tu m'as enlevé les mots de la bouche ! C'est exactement ça !

Kaiser

Merci Kaiser.

Mais je t'en prie !