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déterminant dans une base quelconque

Posté par
sgu35 26-07-20 à 01:07

Bonjour,
j'ai une question concernant les déterminants dans l'espace. Voici la proposition du cours :

Soit (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) une base quelconque et \vec{u}(x_1,y_1,z_1), \vec{v}(x_2,y_2,z_2),\vec{w}(x_3,y_3,z_3) trois vecteurs.
\vec{u}, \vec{v} et \vec{w} sont indépendants si et seulement si:

\begin{vmatrix} \\ x_1&x_2&x_3\\ \\ y_1&y_2&y_3\\ \\ z_1&z_2&z_3\\\notag \\ \end{vmatrix}=0 \\

Et voilà la démonstration :

Soit (\vec{I},\vec{J},\vec{K}) une base orthonormale directe et dans cette base les vecteurs :
\vec{U}(x_1,y_1,z_1), \vec{V}(x_2,y_2,z_2), \vec{W}(x_3,y_3,z_3)
Si \vec{U}, \vec{V} et \vec{W} sont complanaires, alors on peut écrire l'un des vecteurs en fonction de deux autres par exemple \vec{W}=\alpha \vec{U} +\beta \vec{V}
Du point de vue des coordonnées, on a :
\begin{cases}x_3=\alpha x_1 + \beta x_2 \\ y_3=\alpha y_1 + \beta y_2 \\ z_3=\alpha z_1 + \beta z_2  \\ \end{cases}
On en déduit qu'on a aussi : \vec{w}=\alpha \vec{u} +\beta \vec{v}
De même, si \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} sont coplanaires, alors \vec{U}, \vec{V} et \vec{W} sont coplanaires.
On en déduit : \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} sont coplanaires si et seulement si \vec{U}, \vec{V} et \vec{W} sont coplanaires, ce qui équivaut à :
0=Det(\vec{U},\vec{V},\vec{W})=\begin{vmatrix} \\ x_1&x_2&x_3\\ \\ y_1&y_2&y_3\\ \\ z_1&z_2&z_3\\\notag \\ \end{vmatrix} \\

Je me demande si il ne faudrait pas dire
\vec{u}, \vec{v} et \vec{w} sont liés si et seulement si:

Posté par
sgu35re : déterminant dans une base quelconque 26-07-20 à 01:08

Je me demande si il ne faudrait pas dire
\vec{u}, \vec{v} et \vec{w} sont liés si et seulement si
au lieu de indépendants

Posté par
sgu35re : déterminant dans une base quelconque 26-07-20 à 01:21

ou plutôt \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} sont coplanaires

Posté par
ThierryPomare : déterminant dans une base quelconque 26-07-20 à 10:22

Bonjour,

La tradition mathématique veut généralement que l'on dise "les vecteurs (....) sont linéairement dépendants, si et (...)", ou encore "les vecteurs (....) sont liés, si et (...)".

Posté par
sgu35re : déterminant dans une base quelconque 26-07-20 à 12:47

Mais est-ce que j'ai raison?

Posté par
jeansebre : déterminant dans une base quelconque 26-07-20 à 13:16

Bonjour

Soit (\vec{I},\vec{J},\vec{K}) une base orthonormale directe et dans cette base les vecteurs :

Les caractères "orthonormale" et "directe" d'une part n'interviennent pas dans ta démonstration, et d'autre part nécessitent qu'il existe un produit scalaire et une orientation dans ton espace. Ces hypothèses sont inutiles.

Citation :

Si \vec{U}, \vec{V} et \vec{W} sont complanaires, alors on peut écrire l'un des vecteurs en fonction de deux autres par exemple \vec{W}=\alpha \vec{U} +\beta \vec{V}
Du point de vue des coordonnées, on a :
\begin{cases}x_3=\alpha x_1 + \beta x_2 \\ y_3=\alpha y_1 + \beta y_2 \\ z_3=\alpha z_1 + \beta z_2  \\ \end{cases}
On en déduit qu'on a aussi : \vec{w}=\alpha \vec{u} +\beta \vec{v}


D'une part on ne sait pas qui sont u,v et w qui apparaissent brusquement, et d'autre part on ne voit pas comment tu déduis la dernière égalité: calcul? raisonnement? argument géométrique?

Je ne sais pas à quel niveau de connaissances tu es, mais cela peut se démontrer avec un changement de base, en utilisant les propriétés des déterminants. As-tu étudié les changements de base?

Posté par
sgu35re : déterminant dans une base quelconque 26-07-20 à 13:25

Non, je n'ai pas étudié les changements de base.
Pour les vecteurs \vec{u},\vec{v}, \vec{w}, ils sont donnés dans les hypothèses :
\vec{u}(x_1,y_1,z_1), \vec{v}(x_2,y_2,z_2),\vec{w}(x_3,y_3,z_3) dans la base quelconque (\vec{i},\vec{j},\vec{k})  

Posté par
sgu35re : déterminant dans une base quelconque 26-07-20 à 13:32

Citation :
Les caractères "orthonormale" et "directe" d'une part n'interviennent pas dans ta démonstration

Si justement : On sait que l'expression du déterminant de (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) dans une base orthonormale directe s'écrit \begin{vmatrix} \\ \\ x_1&x_2&x_3\\ \\ \\ y_1&y_2&y_3\\ \\ \\ z_1&z_2&z_3\\\notag \\ \\ \end{vmatrix} \\ \\  

Posté par
jeansebre : déterminant dans une base quelconque 26-07-20 à 14:02

Le théoreme à démontrer est:

sgu35 @ 26-07-2020 à 01:07

Bonjour,

Soit (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) une base quelconque et \vec{u}(x_1,y_1,z_1), \vec{v}(x_2,y_2,z_2),\vec{w}(x_3,y_3,z_3) trois vecteurs.
\vec{u}, \vec{v} et \vec{w} sont linéairement dépendants si et seulement si:


Tu dois donc démarrer avec une base quelconque!

or toi, tu démarres avec une base orthonormée:
Citation :
Soit (\vec{I},\vec{J},\vec{K}) une base orthonormale directe et dans cette base les vecteurs :

Posté par
sgu35re : déterminant dans une base quelconque 26-07-20 à 14:05

Justement, on prend une base orthonormée directe pour faire la démonstration, puis on prend les vecteurs qui ont même coordonnées dans cette base que dans la base quelconque de départ.

Posté par
carpediemre : déterminant dans une base quelconque 26-07-20 à 14:19

salut

il arrive parfois que l'on considère que des sont des points d'un espace vectoriel

oui tu as raison : pour le déterminant c'est \ne 0

si w = au + bv alors la troisième colonne est combinaison linéaire des deux premières ... donc le déterminant est nul ...

Posté par
sgu35re : déterminant dans une base quelconque 26-07-20 à 14:23

Citation :
il arrive parfois que l'on considère que des sont des points d'un espace vectoriel

Je n'ai pas encore vu ce que sont les espaces vectoriels. Du coup je ne comprends pas ce que tu veux dire. Des vecteurs sont-ils des points d'un espace vectoriel?

Posté par
carpediemre : déterminant dans une base quelconque 26-07-20 à 14:24

oui ...

Posté par
sgu35re : déterminant dans une base quelconque 26-07-20 à 14:27

Citation :
oui tu as raison : pour le déterminant c'est \ne 0

Tu veux dire :

\vec{u}, \vec{v} et \vec{w} sont indépendants si et seulement si:

\begin{vmatrix} \\ \\ x_1&x_2&x_3\\ \\ \\ y_1&y_2&y_3\\ \\ \\ z_1&z_2&z_3\\\notag \\ \\ \end{vmatrix}\ne 0 \\ \\  
?

Posté par
carpediemre : déterminant dans une base quelconque 26-07-20 à 14:47

oui ...

Posté par
sgu35re : déterminant dans une base quelconque 26-07-20 à 14:49

ok merci

Posté par
carpediemre : déterminant dans une base quelconque 26-07-20 à 15:11

de rien


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