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déterminant et matrice
bonjour, jai besoin d'aide pour un exercice.
soit n entier >2. Soit (A,B) 
à l'ensemble des matrices carrées à coeff dans 
telle que AB=BA. Montrer que det( A²+B²) >= 0.
j'ai essayé d'utiliser la matrice A+iB en faisant ( A+iB)(A-iB) = A²+B².
donc det( A²+B²) = det(A+iB)(A-iB)= det( A-iB) * det ( A+iB) et ensuite je ne sais pas quoi faire.
Merci d'avance pour votre aide.
jai essayé mais nan je n'y arrive pas. et je ne vois pas ce qui se passe si det(A-iB) et det(A+iB) sont conjugués.
pour les complexes si z et z' sont conjugués alors zz'= (module z)² ah donc ça serait toujours positif.
mais j'ai du mal à le voir avec les matrices...
Oui, c'est bien ça! le produit de deux conjugués est toujours positif. Quant à voir pourquoi c'est vrai, le mieux est de prendre la grosse formule du déterminant qui après tout ne fait intervenir que des additions et des multiplications, donc compatible au passage au conjugué.
ah donc si on utilise cette formule, on a:
det(A+iB)= 
signature(s) (A+iB)(s(1),1)... (A+iB)(s(n),n) avec sSn.
= signature(s) A(s(1),1) + iB(s(1),1) ... A(s(n),n)+ iB (s(n),n)
det(A-iB)= signature(s) (A-iB)(s(1),1)... (A-iB)(s(n),n) avec sSn.
= signature(s) A(s(1),1) - iB(s(1),1) ... A(s(n),n)- iB (s(n),n)
mais ce n'est pas le conjugué...
det(A+iB)= signature(s) z(s(1),1)... z(s(n),n)
det(A-iB)= signature(s) zbarre(s(1),1)... zbarre(s(n),n)= signature(s) z(s(1),1)... z(s(n),n) le tout avec une barre car zbarre* z'barre= (zz') barre
et la démo est fini?
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