Salut,
essaie de trouver une relation de réccurence en développant par rapport à la première ligne (ou colonne de toute façon ca change rien)
a+

Bonsoir Jacko

En colonne 1 : tu met c1+c2+c3...

Tu obtient en facteur : 1+(n-1)x
Ensuite essaye:
L1=L1
L2=L2-L1
L3=L3-L1
....

Tu obtient une triangulaire supérieure
Le déterminant est alors facile à calculer
J'obtiens si je ne me suis pas trompé:

(1-X)¨(n-1)

je crois que ce n'est pas aussi simple que ça:
déjà pour n=2 on trouve 1-x² et pour n=3 on trouve (x-1)²(2x+1)
En fait il vaut (1-x)^(n-1)*((n-1)x+1)
Notons Dn(x) ce fameux deteminant
notons également I la matrice unité d'ordre n
et J la matrice d'ordre n avec des 0 sur la diagonale et des -1 sur le reste
on a : Dn(x)=det(I-xJ)=(-x)^n*det(J-(1/x)I)=x^n*P(1/x)
où P désigne le polynome caractéristique de J
un calcul facile donne J²=(n-1)I-(n-2)J
ainsi le polynome X²+(n-2)X-(n-1) est un anulateur de J
J n'étant pas une homothétie on conclut que ce polynome n'est autre que le polynome minimal de J et ses racines sont donc les valeurs propres de J
un calcul facile donne 1 et 1-n comme valeurs propres de J
ainsi P(x)=(x-1)^i (x+n-1)^j avec i et j les ordres de multiplicité respectifs de 1 et 1-n
un calcul matriciel facile donne que le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est l'hypeplan d'équation:
x1+x2+..+xn=0 d'où i=n-1 et j=1
finalement on a:
Dn(x)=x^n*(1/x -1)^(n-1)*(1/x +n-1)=(1-x)^(n-1)*((n-1)x+1)

CQFD

Bravo elhor_abdelali,
tu viens d'écraser une mouche avec un marteau-piqueur.
Pour ma part, je prefere la demonstration de marcfo qui
obtient le meme resultat avec des arguments de niveau
terminale (niveau de la personne qui a posé la question).

Dadou