Niveau Licence Maths 1e ann

détermination de borne

Posté par
khalid276 12-02-25 à 00:06

Bonjour,
J'écris car je suis bloqué sur un exercice.
L'exercice demande trouver (s'il y en a) de différent ensemble, leurs max et min ainsi que leur sup et inf cependant je bloque sur un que voici : $\frac{2n+(-1)^{n}}{n+2}$ pour tout n entier naturel

J'ai commencé par séparé l'ensemble en 2 sous ensemble selon que n est pair ou impair et j'ai simplifier les fractions des 2 sous ensembles j'obtiens finalement : $2-\frac{3}{2k+2}$ (pour n pair) et $2-\frac{5}{2k+3}$ (pour n impair)

puis j'ai tenté à l'aide de différente inégalité de bornés les 2 sous ensembles

dans le premier cas j'ai : 2k+33

$-\frac{1}{2k+3}\geq -\frac{1}{3}$

2- $\frac{5}{2k+3}\geq \frac{5}{3}$

et pour la borne supérieur j'ai :

$\frac{1}{2k+3} > 0$

$\frac{5}{2k+3} > 0$

$-\frac{5}{2k+3} < 0$

$2-\frac{5}{2k+3} < 2$

D'autre part pour le seconde inégalité j'ai que :

2k+22

$-\frac{1}{2k+2}\geq -\frac{1}{2}$

$-\frac{3}{2k+2}\geq -\frac{3}{2}$

$2-\frac{3}{2k+2}\geq \frac{1}{2}$

et pour la borne supérieur j'ai :

$\frac{3}{2k+2}$ > 0

$-\frac{3}{2k+2}$ < 0

2- $\frac{3}{2k+2}$ < 2

Cependent pour k = 1 si on prend l'expression de l'énoncé on obtient $\frac{1}{3}$ donc mon encadrement ne marche pas mais je ne comprend pas pourquoi

De plus j'aurais une seconde question suis-je obligé de passer par l'usage d'inégalité pour trouver les bornes ? comment faire autrement car j'ai l'impression qu'on n'a pas le droit d'utiliser les limites ?

En l'attente d'une réponse merci !

Posté par re : détermination de borne 12-02-25 à 00:34

Bonsoir

Tu as distingué tes deux suites, qui ont la jolie propriété d'être monotones et convergentes, rendant l'étude des min et max beaucoup plus rapide.

Une suite monotone et convergente est bornée par sa limite d'un côté, et par son premier terme de l'autre

Ta première inégalité est fausse, tu as mélangé 1 et 5, tu aurais dû trouver $2-\frac{5}{2k+3} \ge \frac{1}{3}$ . Mais une fois de plus, pas besoin de s'embêter à faire ça, puisque 1/3 est son premier terme

Posté par re : détermination de borne 12-02-25 à 11:50

Ahhhh ouiiii en en effet je viens de m'en apercevoir.

C'est vrai qu'utiliser les propriété de la suite facilite les calculs.

Merci pour votre réponse

Posté par re : détermination de borne 12-02-25 à 18:21

salut

$\dfrac {2n + (-1)^n} {n + 2} = 2 - \dfrac {4 - (-1)^n} {n + 2}$

cette dernière fraction est positive et tend vers 0 quand n tend vers +oo donc 2 est la borne sup de cette suite

cette même fraction est maximale lorsque son numérateur est maximal donc que n est impair

la première valeur de n soit n = 1 donne $2 - \dfrac 5 3 = \dfrac 1 3$

Posté par re : détermination de borne 12-02-25 à 18:27

Bonsoir carpediem

Je trouve ça moins immédiat : pour n=0, le numérateur est petit mais le dénominateur également

Posté par re : détermination de borne 13-02-25 à 08:37

tu as raison : il fallait aussi vérifier mais j'ai oublier n = 0 en pensant qu'on démarrait à 1

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