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Détermination de fonctions affines.

Posté par
matheux14 06-08-20 à 09:56

Bonjour ,

Merci d'avance.

Soit la fonction f définie sur \R par :f(x)=-\sqrt{2}x+2.

Déterminer toutes les fonctions affines telles que : f \circ g =g \circ f

Réponses

J'ai pu trouver :

g définie sur \R par g(x)=x.

Posté par
heklare : Détermination de fonctions affines. 06-08-20 à 10:09

Bonjour

Comment trouvez-vous cela ? Est-ce la seule possibilité ?

Posté par
matheux14re : Détermination de fonctions affines. 06-08-20 à 10:37

Je sais que ce n'est pas la seule possibilité ..

Mais comment trouver les autres ?

Posté par
heklare : Détermination de fonctions affines. 06-08-20 à 10:59

Une fonction affine s'écrit  par exemple ax+b

(f\circ g)(x)=f(ax+b)=-\sqrt{2}(ax+b)+2=-a\sqrt{2}x+2-b\sqrt{2}

(g\circ f)(x)=g(-\sqrt{2}x+2)=a(-\sqrt{2}x+2)+b=-a\sqrt{2}x+2a+b

vous identifiez  

remarque  si a=1 et b=0 on a alors g(x)=x et g\circ f=f\circ g

Posté par
matheux14re : Détermination de fonctions affines. 06-08-20 à 11:41

Alors j'ai résolu l'équation -a\sqrt{2}x+2-b\sqrt{2}=-a\sqrt{2}x+2a+b

Je trouve b=-2a(\sqrt{2}-1).

Donc a \neq 1 et b \neq 0 ;

b=-2a(\sqrt{2}-1) f \circ g =g \circ f

Posté par
heklare : Détermination de fonctions affines. 06-08-20 à 12:02

on doit donc avoir 2-b\sqrt{2}=2a+b

2-2a=b(\sqrt{2}+1)

d'où b=\dfrac{2-2a}{\sqrt{2}+1}=(2-2a)(\sqrt{2}-1)

les fonctions affines g vérifiant g \circ f =f\circ g

sont définies par g(x)=ax+(2-2a)(\sqrt{2}-1)

Posté par
matheux14re : Détermination de fonctions affines. 06-08-20 à 12:08

Ouais ..

Merci

Posté par
heklare : Détermination de fonctions affines. 06-08-20 à 12:10

De rien

Vous pouvez essayer de généraliser avec f(x)=mx+p

Posté par
matheux14re : Détermination de fonctions affines. 06-08-20 à 12:18

Oui , avec m=a et p=b ..

Posté par
heklare : Détermination de fonctions affines. 06-08-20 à 12:31

J'avais mis pour f, m et p pour garder pour g, a et b  

dit autrement  on a f (x)=mx+p  et g(x) =ax+b

Quelle relation entre m,\  p\ , a et b pour que g\circ f =f\circ g ?

Posté par
matheux14re : Détermination de fonctions affines. 06-08-20 à 13:12

Ah j'ai vite lu ..

mx+p=ax+b

Posté par
heklare : Détermination de fonctions affines. 06-08-20 à 13:42

Il s'agissait de généraliser votre problème

Trouver les fonctions affines, g,  qui commutent avec la fonction f définie par f(x)=mx+p

  g(x)=ax+b

f(ax+b)=

g(mx+p)=

relation entre m,\ a,\ p,\ et b telle que f\circ g= g\circ f

Posté par
matheux14re : Détermination de fonctions affines. 06-08-20 à 14:56

f(ax+b)=m(ax+b)+p et

g(mx+p)=a(mx+p)+b..

Merci

Posté par
heklare : Détermination de fonctions affines. 06-08-20 à 16:41

ensuite

on doit avoir ma x+mb+p=ma x+ap+b

donc   comme relation mb+p=ap+ b ou

\large\color[RGB]{127,0,255} {b(m-1)=p(a-1)}

Si l'on considère l'exemple précédent m=-\sqrt{2}  et p=2

on avait obtenu b=(2-2a)(\sqrt{2}-1)

b(-\sqrt{2}-1)=2(a-1) soit b= (2-2a)(\sqrt{2}-1)

ce qui vérifie la relation en violet

Posté par
heklare : Détermination de fonctions affines. 06-08-20 à 16:45

Conclusion :

pour que les deux fonctions affines commutent   si l'une est f(x)=mx+p alors l'autre doit être  g(x)=ax+\frac{p(a-1)}{m-1}

Posté par
matheux14re : Détermination de fonctions affines. 06-08-20 à 22:41

Merci


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