Bonjour,
J'ai besoin de votre aide.
Pour determiner l'angle d'une rotation, connaissant sa matrice A dans une base, on a:
cos (theta)=0,5(-1+tr(A))
donc |sin (theta)| est connu.
Il reste a determiner le signe de sin(theta) , ce ça qui me pose problème.
ah ben dis donc c'est dur d'avoir tous les renseignements ...
la question du signe de l'angle n'est qu'une illusion !
en dimension 3 il faut orienter l'axe par un vecteur pour donner un sens au signe de l'angle.
si tu observes sur une vitre une mouche qui tourne dans le sens horaire, celui qui est de l'autre côté de la vitre la voit tourner dans le sens contraire.
par exemple on va parler de
la rotation autour de (Oz) dirigé par et d'angle
qui est la même chose que
la rotation autour de (Oz) dirigé par et d'angle
Voici un exemple:
On munit du produit scalaire usuel.Soit f l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est : A=1/9(C1 C2 C3)
C1 C2 C3 sont les colones de A. Avec C1=(8,-4,1) C2=(1,4,8) C3=(-4,-7,4).
1. Montrer que f est une rotation .
2.Determiner l'axe et la mesure de f.
1. (Compris) . il suffit de montrer que tAA=I et que detA=1.
2. L'axe de rotation est le sous-espace propre associé à la valeur propre 1. J'ai trouvé Vect ((-3,1,1)).
Pour la mesure:
Cos(theta)=7/18 et |sin(theta)|=5√11/18.
Bonjour
le cosinus etant positif, l'angle de rotation est compris entre -pi/2 et pi/2 modulo 2pi
Détermine une base u,v,w de l'espace avec w le vecteur invariant. u et v sont dans le plan vectoriel invariant, donc orthogonaux à w. Trouve deux vecteurs qui conviennent.
Ensuite calcule le produit scalaire de u, v. il est égal à |u||v|sin(u,v)
Ensuite calcule le produit scalaire de f(u),f(v). il est égal à |f(u)||f(v)sin(f(u),f(v))
Si les deux nombres sont de même signe, c'est que la rotation a un angle à sinus positif (angle compris entre o et pi/2 modulo 2pi)
SI ...........................
Bon, j'ai évidemment écrit une bêtise: c'est les produits vectoriels qu'il faut calculer pour avoir le sinus. Excuse.
Bonjour,
Tu choisis comme axe w=(-3,1,1), un vecteur u qui lui est orthogonal (mais ce n'est pas indispensable) et tu calcules son transformé v.
Le signe de det(u,v,w) donne le sens de la rotation d'axe w
larrech
je tenais juste à le préciser pour l'auteur de ce post pour qui cela n'avait pas l'air clair... je me doute que cela l'était pour toi
jeanseb
non, c'est moi qui l'ai écrit puisque le produit vectoriel donne un vecteur
il faut être précis ...
si l'axe est dirigé par w
on prend un vecteur u orthogonal
et v=r(u)
uv = ||u|| ||v|| sin(u;v) w
cela donne effectivement le sinus, donc le signe de la représentation principale de l'angle... avec l'orientation de l'axe choisie
il est clair que si on prend (-w) pour orienter l'axe, on trouve un angle opposé.
est un vecteur unitaire de l'axe de rotation.
Le plan orthogonale à l'axe de rotation a pour équation -3x+y+z=0
est un vecteur unitaire de ce plan.
w=u^v=
j'ai vu dans un exemple que sin(theta)=<f(v),w>, mais je ne connais pas la preuve.
qu'entends-tu par cette notation ? un produit scalaire ? m'étonnerait il est nul !
et au sujet de ton post je crois avoir tout dit
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