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determination de l'angle d'une rotation

Posté par
toureissa
16-10-19 à 10:35

Bonjour,

J'ai besoin de votre aide.
Pour determiner l'angle d'une rotation, connaissant sa matrice A  dans une base, on a:

cos (theta)=0,5(-1+tr(A))
donc |sin (theta)| est connu.
Il reste a determiner le signe de sin(theta) , ce ça qui me pose problème.

Posté par
matheuxmatou
re : determination de l'angle d'une rotation 16-10-19 à 10:42

bonjour

ce serait bien d'avoir un énoncé complet !

tu travailles dans quel espace ?

Posté par
toureissa
re : determination de l'angle d'une rotation 16-10-19 à 10:45

Dans un espace euclidien.

Posté par
matheuxmatou
re : determination de l'angle d'une rotation 16-10-19 à 10:46

dimension ?

Posté par
toureissa
re : determination de l'angle d'une rotation 16-10-19 à 10:47

plus precisement un espace euclidienne de dimension 3.

Posté par
matheuxmatou
re : determination de l'angle d'une rotation 16-10-19 à 10:50

ah ben dis donc c'est dur d'avoir tous les renseignements ...

la question du signe de l'angle n'est qu'une illusion !

en dimension 3 il faut orienter l'axe par un vecteur pour donner un sens au signe de l'angle.

si tu observes sur une vitre une mouche qui tourne dans le sens horaire, celui qui est de l'autre côté de la vitre la voit tourner dans le sens contraire.

Posté par
matheuxmatou
re : determination de l'angle d'une rotation 16-10-19 à 10:56

par exemple on va parler de

la rotation autour de (Oz) dirigé par \vec{k} et d'angle \dfrac{\pi}{3}

qui est la même chose que

la rotation autour de (Oz) dirigé par -\vec{k} et d'angle -\dfrac{\pi}{3}

Posté par
toureissa
re : determination de l'angle d'une rotation 16-10-19 à 11:21

Voici un exemple:
On munit \R^3 du produit scalaire usuel.Soit f l'endomorphisme de \R^3 dont la matrice dans la base canonique est : A=1/9(C1 C2 C3)

C1 C2 C3 sont  les colones de A. Avec C1=(8,-4,1) C2=(1,4,8) C3=(-4,-7,4).

1. Montrer que  f est une rotation .

2.Determiner l'axe et la mesure de f.


1. (Compris) . il suffit de montrer que tAA=I et que detA=1.

2. L'axe de rotation est le sous-espace propre associé à la valeur propre 1. J'ai trouvé  Vect ((-3,1,1)).

Pour la mesure:

Cos(theta)=7/18  et |sin(theta)|=5√11/18.

Posté par
jeanseb
re : determination de l'angle d'une rotation 16-10-19 à 13:39

Bonjour

le cosinus etant positif, l'angle de rotation est compris entre -pi/2 et pi/2 modulo 2pi

Détermine une base  u,v,w de l'espace avec w le vecteur invariant. u et v sont dans le plan vectoriel invariant, donc orthogonaux à w. Trouve deux vecteurs  qui conviennent.


Ensuite calcule le produit scalaire  de u, v. il est égal à |u||v|sin(u,v)


Ensuite calcule le produit scalaire  de f(u),f(v). il est égal à |f(u)||f(v)sin(f(u),f(v))

Si les deux nombres sont de même signe, c'est que la rotation a un angle à sinus positif (angle compris entre o et pi/2 modulo 2pi)
SI ...........................

Posté par
jeanseb
re : determination de l'angle d'une rotation 16-10-19 à 13:47

Bon, j'ai  évidemment écrit une bêtise: c'est les produits vectoriels qu'il faut calculer pour avoir le sinus. Excuse.

Posté par
larrech
re : determination de l'angle d'une rotation 16-10-19 à 16:30

Bonjour,

Tu choisis comme axe w=(-3,1,1), un vecteur u qui lui est orthogonal (mais ce n'est pas indispensable) et tu calcules son transformé v.

Le signe de det(u,v,w) donne le sens de la rotation d'axe w

Posté par
matheuxmatou
re : determination de l'angle d'une rotation 16-10-19 à 17:42

jeanseb @ 16-10-2019 à 13:47

Bon, j'ai  évidemment écrit une bêtise: c'est les produits vectoriels qu'il faut calculer pour avoir le sinus. Excuse.


la norme du produit vectoriel donne la valeur absolue du sinus... et pas son signe !

voir les posts de 10:50 et 10:56

larrech ... d'axe orienté par w

ce qui rejoint le fait que si on oriente l'axe par (-w) on a un signe opposé de l'angle

Posté par
larrech
re : determination de l'angle d'une rotation 16-10-19 à 17:51

matheuxmatou Orienté par w, oui, j'avais cru l'écrire.

Posté par
matheuxmatou
re : determination de l'angle d'une rotation 16-10-19 à 17:52

larrech
je tenais juste à le préciser pour l'auteur de ce post pour qui cela n'avait pas l'air clair... je me doute que cela l'était pour toi

Posté par
jeanseb
re : determination de l'angle d'une rotation 16-10-19 à 19:15

matheuxmatou @ 16-10-2019 à 17:42

jeanseb @ 16-10-2019 à 13:47

Bon, j'ai  évidemment écrit une bêtise: c'est les produits vectoriels qu'il faut calculer pour avoir le sinus. Excuse.


la norme du produit vectoriel donne la valeur absolue du sinus... et pas son signe !


Je n'ai pas écrit la norme du produit vectoriel...

Posté par
matheuxmatou
re : determination de l'angle d'une rotation 16-10-19 à 23:03

jeanseb

non, c'est moi qui l'ai écrit puisque le produit vectoriel donne un vecteur

il faut être précis ...

si l'axe est dirigé par w
on prend un vecteur u orthogonal
et v=r(u)

uv = ||u|| ||v|| sin(u;v) w

cela donne effectivement le sinus, donc le signe de la représentation principale de l'angle... avec l'orientation de l'axe choisie

il est clair que si on prend (-w) pour orienter l'axe, on trouve un angle opposé.

Posté par
matheuxmatou
re : determination de l'angle d'une rotation 16-10-19 à 23:05

* avec w normé dans mon post précédent...

Posté par
toureissa
re : determination de l'angle d'une rotation 17-10-19 à 00:55

u=\frac{1}{\sqrt{11}}(-3,1,1) est un vecteur unitaire de l'axe de rotation.

Le plan orthogonale à l'axe de rotation a pour équation -3x+y+z=0

v=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,-1) est un vecteur unitaire de ce plan.
w=u^v=\frac{1}{\sqrt{22}}(-2,2,-3)

j'ai vu dans un exemple que sin(theta)=<f(v),w>, mais je ne connais pas la preuve.

Posté par
matheuxmatou
re : determination de l'angle d'une rotation 17-10-19 à 01:00

qu'entends-tu par cette notation ? un produit scalaire ? m'étonnerait il est nul !

et au sujet de ton post je crois avoir tout dit

Posté par
toureissa
re : determination de l'angle d'une rotation 18-10-19 à 23:22

Je vous remercie beaucoup. J'ai compris vos propos.

Posté par
matheuxmatou
re : determination de l'angle d'une rotation 19-10-19 à 11:37

pas de quoi



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