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Détermination de réels inconnus pour que f soit continue en x_0

Posté par
Nijiro 13-10-20 à 08:25

Bonne matinée!

Déterminer les réels a, b et c pour que la fonction f définie par:\begin{cases} f (x)= \frac{3x^2-2bx+1}{2x^2+ax-a-2} & \text{si } x<1 \\ f (1)=\frac{2+c}{3} \\ f (x)=\frac{-2x^2+3x+3}{x^2+1} & \text {si } x>1 \end{cases}
soit continue en x0=1.

Je vais montrer ma résolution et expliquer le problème  dans un prochain message.

Merci d'avance.

Posté par
Nijirore : Détermination de réels inconnus pour que f soit continue en 13-10-20 à 09:12

Pour que f soit continue en x0, il faut qu'elle soit continue à la fois à gauche et à droite en x0.
* Etudions la continuité de f à droite en x0:
\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{-2x^2+3x+3}{x^2+1}=2
Pour que f soit continue à droite en x0, il faut que:
\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=f(x_0), c-à-d:
f(x_0)=2\Leftrightarrow \frac{2+c}{3}=2\Leftrightarrow c=4.

*Etudions la continuité de f à gauche en x0:
\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{3x^2-2bx+1}{2x^2+ax-a-2}
D'ailleurs:
\begin{cases} \lim_{x\rightarrow 1^-}(3x^2-2bx+1)=4-2b \\ \lim_{x\rightarrow 1^-} (2x^2+ax-a-2)=0 \end{cases}
Si b\neq 2 alors f admettra une limite infinie à gauche en 1, alors forcèment b=2.

1 est une racine de ax^2+ax-a-2, alors:
on a \Delta =a^2-4\times 2\times (-a-2)=a^2+8a+16=(a+4)^2
Distinguons deux cas:
1er cas: si =0, c-à-d: (a+4)^2=0, alors:
x_1=x_2=\frac{-a}{4}, or 1 est une racine de ax^2+ax-a-2 donc:
\frac{-a}{4}=1\Leftrightarrow a=-4.
Par conséquent: 2x^2+ax-a-2=2(x-1)^2, d'où:
\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{3x^2-2bx+1}{2x^2+ax-a-2}=\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{3x^2-4x+1}{2(x-1)^2}=\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{3(x-\frac{1}{3})}{2(x-1)}=-\infty, ce qui invalable pour que f soit continue à gauche en 1.

2ème cas: si >0, c-à-d: (a+4)^2>0, alors:
x_1=\frac{-a-\sqrt{(a+4)^2}}{4}=\frac{-a-a-4}{4}=\frac{-2(a+2)}{4}=-\frac{a+2}{2} et x_2=\frac{-a+\sqrt{(a+4)^2}}{4}=\frac{-a+a+4}{4}=\frac{4}{4}=1.
Du coup: 2x^2+ax-a-2=2(x+\frac{a+2}{2})(x-1), d'où:
\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{3x^-4x+3}{2x^2+ax-a-2}=\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{3(x-\frac{1}{3})}{2(x+\frac{a+2}{2})}=\frac{2}{4+a}
Pour que f soit continue à gauche en 1, il faut que \frac{2}{4+a}=2\Leftrightarrow a=-3


Finalement: a=-3, b=2 et c=4.

Posté par
Nijirore : Détermination de réels inconnus pour que f soit continue en 13-10-20 à 09:19

Je me doute de l'étude de la continuité de f à gauche en 1.
La limite du dénominateur est égale à 0-, mais j'ai pu préciser le signe du 0 après la détermination de a. Est-il correct de le laisser sans signe au début?
Concernant la distinction des deux cas, ai-je traité le premier cas correctement? (Je n'ai pas traité le cas où <0 car (a+4)20).

Posté par
larrechre : Détermination de réels inconnus pour que f soit continue en 13-10-20 à 10:04

Bonjour,

Tes résultats sont exacts, mais à partir de " ...alors forcément b=2", c'est inutilement compliqué.

Tu as remarqué que 2x^2+ax-a-2 s'annule pour x=1, alors mets (x-1) en facteur!
De même tu as vu que b était nécessairement égal à 2, alors factorise aussi le numérateur, soit 3x^2-4x+1

Posté par
Nijirore : Détermination de réels inconnus pour que f soit continue en 13-10-20 à 10:38

D'accord, merci!
Et pour la question du signe de 0?

Posté par
larrechre : Détermination de réels inconnus pour que f soit continue en 13-10-20 à 11:19

Le signe de 0 ?

Posté par
Nijirore : Détermination de réels inconnus pour que f soit continue en 13-10-20 à 12:07

Ici:

Nijiro @ 13-10-2020 à 09:12


D'ailleurs:
\begin{cases} \lim_{x\rightarrow 1^-}(3x^2-2bx+1)=4-2b \\ \lim_{x\rightarrow 1^-} (2x^2+ax-a-2)=0 \end{cases}

Posté par
larrechre : Détermination de réels inconnus pour que f soit continue en 13-10-20 à 12:19

Tu en déduis que pour que le rapport des deux ait une chance d'avoir une limite finie, il faut que le numérateur s'annule aussi pour x=1, donc que b=2, et c'est ce que tu as fait.
Il n'y a rien à redire.

Quant à 0, il est à la fois positif et négatif.

Posté par
Nijirore : Détermination de réels inconnus pour que f soit continue en 13-10-20 à 12:41

Et c'est exactement ce que j'ai fait ^-^. Merci beaucoup larrech!

Posté par
larrechre : Détermination de réels inconnus pour que f soit continue en 13-10-20 à 12:47


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