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détermination limite

Posté par matou (invité) 28-12-04 à 13:02

SAlut,

   Je n'arrive pas à trouver la limite en 0 de :
           limx->0((ax-bx)/x)

                                  Merci d'avance
                                       MATH

Posté par
Nightmarere : détermination limite 28-12-04 à 14:16

Bonjour

a^{x}=e^{xln(a)}
et
b^{x}=e^{xln(b)}

donc avec un dl au voisinage de 0 :
e^{xln(a)}\sim 1+xln(a)+o(x^{2})
et :
e^{xln(b)}\sim 1+xln(b)+o(x^{2})

Donc :
\begin{tabular}\lim_{x\to 0} \frac{a^{x}-b^{x}}{x}&=&\lim_{x\to 0} \frac{1+xln(a)-1-xln(b)}{x}\\&=&\frac{x(ln(a)-ln(b))}{x}\\&=&\fbox{ln(a)-ln(b)}\end{tabular}


Jord

Posté par
Nightmarere : détermination limite 28-12-04 à 14:27

Re

Sans les développements limités :

En posant f(x)=a^{x}-b^{x}
f(0)=a^{0}-b^{0}=0

Donc on recherche :
\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}
cette limite est égale à f'(0)
or :
f'(x)=ln(a).a^{x}-ln(b).b^{x}

Soit :
\fbox{f'(0)=ln(a)-ln(b)}


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