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Détermination limite

Posté par
Kernelpanic 20-03-18 à 13:17

Bonjour,

j'ai un partiel d'analyse dans quelques heures et voilà maintenant depuis ce matin 9h que je révise en faisant d'anciens sujet. J'ai du mal à me concentrer maintenant et je bloque sur une limite :

\large \lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{{ln^{6}(ln(n) )}}{n}.

J'ai pensé à dire que c'était égal à :

\large \lim_{n\rightarrow +\infty } (\frac{ln(ln(n))}{ln(n)})^{6} ~*~ \frac{ln^{6}(n)}{n}

le premier membre à gauche tend vers 0 par croissance comparée mais je ne sais pas comment l'expliquer pour le membre de droite. Je suppose que ce n'est pas la bonne méthode et je n'arrive pas à voir comment faire, pouvez-vous me donner quelques pistes ? Merci d'avance !

Posté par
jsvdbre : Détermination limite 20-03-18 à 13:41

Bonjour Kernelpanic

Sauf erreur, on a \ln^6(\ln(n)) = \ln^7(n) et donc \dfrac{\ln^7(n)}{n}=\left(\dfrac{7\ln(n^{1/7})}{n^{1/7}}\right)^7

Posté par
Kernelpanicre : Détermination limite 20-03-18 à 13:46

Bonjour et un grand merci à vous, je ne comprends pas bien comment vous avez obtenu ce résultat (j'ai sûrement dû oublier ce résultat dans mes cours de terminal) néanmoins j'avais oublié la propriété de ln qui permet de sortir la puissance. En reprenant mon calcul initial, je peux appliquer votre méthode. Vous me sauvez la vie !

Posté par
larrechre : Détermination limite 20-03-18 à 14:07

Bonjour,

J'aurais considéré la fonction x\mapsto\dfrac{(\ln(\ln{x}))^6}{x} pour x\in\mathbb{R}^{*}+, puis posé x=\large{e^t}, ce qui , sauf erreur, conduirait à

trouver la limite de \large{e^{(6\ln{t}-t)}}   quand t\to+\infty

Posté par
lafol Moderateurre : Détermination limite 20-03-18 à 14:41

bonjour
kernelpanic considère ln^6 comme une écriture pour a fonction qui à x associe (ln x) ^6
alors que jsvdb considère ln^6 comme ln o ln o .. o ln (6 ln composés) pour sa première égalité, mais comme kernelpanic pour sa deuxième égalité, je me trompe ?

Posté par
jsvdbre : Détermination limite 20-03-18 à 15:08

Bonjour lafol

Non j'ai pris \ln^6(\ln(n)) = (\ln(n))^7=\ln(n)\times \cdots \times \ln(n) 7 fois, ce qui me praissait la plus intéressante des interprétations.

Car si on dit \ln^6 = \ln \circ \cdots \circ \ln 6 fois alors la réponse est triviale puisque

\ln^7(n) = \ln^6(\ln(n)) \leq \ln^5(\ln(n)) \leq \ln^4(\ln(n))\leq \cdots \leq \ln^1(\ln(n)) = \ln(n) et on connaît tous la limite de \ln(n) /n en l'infini.

Evidemment, est sous entendu que n \geq e^6

Prendre x\mapsto\dfrac{(\ln(\ln{x}))^6}{x}, x > 1 est encore trivial puisque \dfrac{(\ln({\red \ln{n}}))^6}{n} \leq \dfrac{(\ln({\red n}))^6}{n} (car \red \ln(n) \leq n et \ln est croissante) et on revient à mon interprétation initiale.

Posté par
carpediemre : Détermination limite 20-03-18 à 18:08

salut

ben je ne suis pas d'accord avec ton interprétation ...

Posté par
mousse42re : Détermination limite 20-03-18 à 18:32

Bonjour
Une proposition :

\dfrac{\ln^6(\ln n)}{n} = \left(\dfrac{\ln\ln n}{n^{1/6}}\right)^6=\left( \dfrac{\ln n}{n^{1/6}}\cdot \dfrac{\ln \ln n}{\ln n}\right)^6 =\left( 6\cdot \dfrac{\ln n^{1/6}}{n^{1/6}}\cdot \dfrac{\ln \ln n}{\ln n}\right)^6

Posté par
lafol Moderateurre : Détermination limite 20-03-18 à 19:01

\ln^6(\ln n) n'est pas \ln^6n(\ln n) ...

Posté par
Kernelpanicre : Détermination limite 20-03-18 à 19:11

Bonsoir, excusez ma réponse tardive je sors à peine (déçu) de mon partiel dans lequel je n'ai eu à calculer aucune limite du genre.

Kernelpanic @ 20-03-2018 à 13:17


\large \lim_{n\rightarrow +\infty } (\frac{ln(ln(n))}{ln(n)})^{6} ~*~ \frac{ln^{6}(n)}{n}

le premier membre à gauche tend vers 0 par croissance comparée


J'ai tout simplement rajouté que c'était égal à :

\large \lim_{n\rightarrow +\infty } (\frac{ln(ln(n))}{ln(n)})^{6} ~*~ (\frac{6*ln(n^{\frac{1}{6}})}{n^{\frac{1}{6}}} )^{6}

je conviens que je ne suis pas un pro sur LaTeX et que ça rend assez mal mais l'exposant est 1/6.

Posté par
mousse42re : Détermination limite 20-03-18 à 19:15

oui, c'est bon, et ça tend vers ...?

Posté par
Kernelpanicre : Détermination limite 20-03-18 à 19:18

Oups, désolé, c'est complétement débile d'avoir écrit mon résultat sans en donner la limite. On conclut que la limite est égale à 0.

Posté par
carpediemre : Détermination limite 20-03-18 à 19:27

salut

règle du marquis ... à répétition ...


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