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Déterminer a et b
Soit f la fonction de variable réelle x, définie sur R, par :
f(x)= e puissance x (e puissance x +a)+ b où a et b sont deux constantes
réelles.
Les renseignements connus sur f sont donnés dans le tableau ci-dessous.
x -infini 0 +infini
f'(x) 0
f(x) -3 décroi. Croissante
Déterminer a et b en vous aidant des informations onenues dans le tableau ci-dessus.
f(x) = e^x (e^x + a) + b
f'(x) = e^x (e^x + a) + e^x (e^x)
f'(x) = e^x (2 e^x + a)
Or on sait que f'(0)=0, donc :
e^0 (2 e^0 + a) = 0
2+a = 0
a = -2
Remarque :
On peut maintenant étudier le signe de f'(x), juste pour le plaisir
de vérifier le tableau de variation donné dans l'enoncé.
f'(x)=e^x(2e^x-2)
f'(x)=2e^x(e^x-1)
2e^x est toujours >0
e^x-1 est >0 ssi e^x>1 donc ssi x>0.
On se sert maintenant du deuxième "indice" donné dans le tableau pour
trouver la valeur de b :
f(x)=e^x (e^x + 2) + b
On cherche la limite de f(x) en -infini (ca vaut -3 d'après le
tableau).
f(x)=e^2x+2e^x+b
Or lim e^2x = 0 (x
-
)
et lim 2e^x = 0 (x-)
Donc lim f(x) qd x- = b
D'où b=-3
f(x) = e^2x+2e^x-3
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