On considère la fonction f définie par f(x) -x On souhaite déterminer l'aire du domaine D sous la courbe C, domaine délimité par la courbe et l'axe des abscisses en hauteur, et les droites d'équations x = 0 et x = 4. Pour cela, on découpe [0; 4] en n segments de même longueur. On recouvre la surface par des rectangles blancs de même largeur et on dessine des rectangles gris de même largeur situés sous Cf. Ainsi on peut encadrer l'aire du domaine D par la somme des aires de rectangles.

1. Cas où n=4
Montrer que : 1+4+9 < Aire(D) <1+4+9+16
2. Cas où n = 5.
Montrer que : 0,8^3 (1^2+ 2^2 + 3^2 + 4^2) < Aire(D) < 0,8^3 (1^2 + 2^2 + 3^2 +4^2 + 5^2)
Donc c'est deux premières questions on était réussi c'est les prochaines où je suis bloqué

3. Cas général :
a) Montrer par récurrence : quel que soit l'entier naturel n, 1+2^2 + 3^2 +..+ n^2 = n(n+1)(2n+1) /6
Ça je pense avoir réussi mais je ne suis pas sûre
b) On note an la somme des aires des rectangles gris et bn celle des aires des
rectangles blancs.
c) Montrer que pour tout entier naturel n, bn =32/3 × (n+1)(2n+1)/n^2
d) Déterminer l'expression de an en fonction de n.
e) Conclure. Pour la conclusion je peut me débrouiller c'est juste an et bn qui me pose problème