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Déterminer l'ensemble des points M qui vérifient MA=kMB

Posté par
suzuki217
19-04-10 à 21:03

Bonjour, j'aurais besoin d'un petit coup de pouce si possible.

Soient A et B deux points du plan et k un réel strictement positif. Déterminer l'ensemble des points M qui vérifient MA=kMB.

Pour ce qui est de k=1 : C'est très facile on obtient une droite située à égale distance de A et de B.

Pour ce qui est de k=2 : J'obtiens un arc d'hyperbole.

Je n'arrive pas à faire de généralité et je ne sais même pas d'ailleurs si je suis sur la bonne voie. Est-ce que quelqu'un a une petite idée qui m'aiderait.

Merci

Posté par
littleguy
re : Déterminer l'ensemble des points M qui vérifient MA=kMB 19-04-10 à 21:16

Bonjour

MA/MB = k équivaut à MA = kMB donc à MA² = k²MB² (puisque k > 0)

Tu obtiens alors successivement :

MA^2-k^2MB^2 = 0

\vec{MA}^2-k^2\vec{MB}^2 = 0

(\vec{MA}+k\vec{MB}).(\vec{MA}-k\vec{MB})=0

Utilise alors le barycentre G1 des points pondérés (A,1),(B,k) et le barycentre G2 des points pondérés (A,1),(B,-k). Ces barycentres existent car k ne peut pas être égal à -1 (puisque strictement positif), ni à 1 (tu as étudié ce cas : l'ensemble est la médiatrice de [AB]))

A la fin ça doit te donner un cercle qu'il te faut déterminer (je ne sais pas comment tu as trouvé un "arc" d'hyperbole)

Posté par
suzuki217
D'accord 20-04-10 à 14:46

Merci beaucoup pour la réponse. Je comprends parfaitement le début mais je bloque un peu lorsque j'arrive au barycentre. Comment déterminer un cercle à l'aide de deux barycentres?

Merci

Posté par
littleguy
re : Déterminer l'ensemble des points M qui vérifient MA=kMB 20-04-10 à 14:56

à partir de

(\vec{MA}+k\vec{MB}).(\vec{MA}-k\vec{MB})=0

on arrive à

(1+k)(1-k)\vec{MG_1}.\vec{MG_2}=0

or 1+k et 1-k sont différents de 0 donc on obtient

\vec{MG_1}.\vec{MG_2}=0

ce qui permet de conclure immédiatement.

Posté par
suzuki217
Merci 20-04-10 à 14:57

Merci beaucoup, désolé du dérangement je n'avais simplement pas fait le déclic.

Merci, bonne journée

Posté par
littleguy
re : Déterminer l'ensemble des points M qui vérifient MA=kMB 20-04-10 à 14:59

Bonne journée à toi aussi



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