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Déterminer l'équation de la sphère à l'aidede deuxdroites tangen

Posté par
Lyy 04-09-23 à 13:45

Bonjour, est ce que quelqu'un peux m'aider pour l'exercice suivant:

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (0; \vec{i} , \vec{j} ,\vec{k} ), on donne les points A(-4; -2; 2) et B(-4; 2; 4) ainsi que les vecteurs \vec{u}(1, 0,1)
On note de la droite
et \vec{v}(1, - 1,-1)

On note d1 la droite passant par A et de vecteur directeur \vec{u} et d2 la droite passant par B
et de vecteur directeur \vec{v} . C'est à dire :
d1: \\     \begin{cases} x= \lambda-4\\ y=-2 \\ z=\lambda+2 \end{cases} et
d2: \\     \begin{cases} x=k -4\\ y=-k+2 \\ z=-k+4\end{cases}
Chercher une équation de la sphère de centre \Omega tangente aux droites d1 et d2 sachant que
\Omega et les points de contact T1 et T2 sont alignés.

Posté par
GBZMre : Déterminer l'équation de la sphère à l'aidede deuxdroites t 04-09-23 à 16:20

Bonjour,
L'énoncé est un peu tarabiscoté, mais ce qu'on demande est que la droite (T_1T_2) soit la perpendiculaire commune aux droites d_1 et d_2 et \Omega est alors le milieu de T_1 et T_2. Fais-toi un dessin dans la tête.

Posté par
Lyyre : Déterminer l'équation de la sphère à l'aidede deuxdroites t 04-09-23 à 17:40

GBZM @ 04-09-2023 à 16:20

Bonjour,
L'énoncé est un peu tarabiscoté, mais ce qu'on demande est que la droite (T_1T_2) soit la perpendiculaire commune aux droites d_1 et d_2 et \Omega est alors le milieu de T_1 et T_2. Fais-toi un dessin dans la tête.

Okey merci, j'avais aussi vue que [T1, T2] est alors le diamètre. Mais comment je peut alors déterminé l'équation de la sphère ? Avec R=T1T2/2 et si on note T1(x1, y1,z1) T2(x2, y2,z2) alors \Omega((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2, (z_1+z_2)/2) ...

Posté par
carpediemre : Déterminer l'équation de la sphère à l'aidede deuxdroites t 04-09-23 à 18:46

salut

ne pas oublier que la tangente en un point P à une sphère de centre O est perpendiculaire à la droite (OP) ...

Posté par
Lyyre : Déterminer l'équation de la sphère à l'aidede deuxdroites t 04-09-23 à 18:51

carpediem @ 04-09-2023 à 18:46

salut

ne pas oublier que la tangente en un point P à une sphère de centre O est perpendiculaire à la droite (OP) ...


Oui donc ici on peut calculer \Omega T_1× \vec{u} =0?
Mais est-ce que cela nous amène à l'équation de la sphère ?

Posté par
GBZMre : Déterminer l'équation de la sphère à l'aidede deuxdroites t 04-09-23 à 19:02

Sais-tu calculer la perpendiculaire commune à deux droites gauches dans l'espace ?

Posté par
Lyyre : Déterminer l'équation de la sphère à l'aidede deuxdroites t 04-09-23 à 19:13

Soit T_1(x_1,y_1,z_1) et T_1(x_2,y_2,z_2) les deux points de contact.
Si \Omega = (\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}), alors le rayon vaut R= \Omega T_1= \frac{\sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}}{2}. Donc l'équation de la sphère est de la forme:
(x-\frac{x_1+x_2}{2})^2 + (y-\frac{y_1+y_2}{2})^2+(z-\frac{z_1+z_2}{2})^2=R^2=\frac{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}{4}.

Est-ce que ceci est juste, car en fait j'ai pas du tout utiliser les droites d_1 et d_2 ?  Ou est-ce que comme T_1 et T_2 appartiennent aussi aux droites d_1 resp. d_2, on peut exprimer les coordonnées de T_1 et  T_2 tel que T_1(\lambda -4 , -2,\lambda +2)  et T_1(k-4,-k+2,-k+4) ?

Posté par
GBZMre : Déterminer l'équation de la sphère à l'aidede deuxdroites t 04-09-23 à 19:19

Je répète ma question : peux tu trouver T_1 sur d_1 et T_2 sur d_2 tels que (T_1T_2) soit la perpendiculaire commune à d_1 et d_2 ?

Posté par
Lyyre : Déterminer l'équation de la sphère à l'aidede deuxdroites t 04-09-23 à 19:32

GBZM @ 04-09-2023 à 19:02

Sais-tu calculer la perpendiculaire commune à deux droites gauches dans l'espace ?

J'ai trouvé qu'il faut faire les étappes suivantes : On détermine dans l'ordre :  
1) \vec{u} et  \vec{v} des vecteurs directeurs respectifs de (d1) et (d2) (ce qu'on a)
2) \vec{n}= \vec{u} \wedge \vec{v} (ce qui donne \vec{n}=(1,2,-1)
3) P1 le plan contenant (d1) et dont \vec{n} est un vecteur directeur (donc ici P_1 : x+z-6=0);
3) B l'intersection de P1 et (d2) (Ici B(-3,1,3)).  Ainsi on trouve que la paramétrisation de la perpendiculaire commune à d_1 et d_2 est : \begin{cases}x=-3+t \\ y= 1+2t \\ z=3-t\end{cases}.

Est ceci juste?

Posté par
GBZMre : Déterminer l'équation de la sphère à l'aidede deuxdroites t 04-09-23 à 19:55

Tu as les coordonnées de T_1 et T_2 en fonction de \lambda et k.
Moi, je chercherais à déterminer \lambda et k pour que le vecteur \overrightarrow{T_1T_2} soit orthogonal aux vecteurs directeurs de d_1 et d_2.
Un système de deux équations linéaires.

Posté par
Lyyre : Déterminer l'équation de la sphère à l'aidede deuxdroites t 04-09-23 à 20:00

*modération* >citation inutile supprimée*


Excuser moi j'ai fait une faute dans les calcul, en fait l'équation du plan P_1 est P_1 :-x+y+z-4=0 et donc le point d'intersection du plan P_1 et de la droite d_2 est B(-2,0,2) et donc la paramétrisation de la perpendiculaire commune à d_1 et d_2 est :
\begin{cases}x=-2+t\\y=2t\\z=2-t\end{cases}

Posté par
GBZMre : Déterminer l'équation de la sphère à l'aidede deuxdroites t 04-09-23 à 20:04

As-tu lu mon message ?

Posté par
Lyyre : Déterminer l'équation de la sphère à l'aidede deuxdroites t 04-09-23 à 20:08

GBZM @ 04-09-2023 à 19:55

Tu as les coordonnées de T_1 et T_2 en fonction de \lambda et k.
Moi, je chercherais à déterminer \lambda et k pour que le vecteur \overrightarrow{T_1T_2} soit orthogonal aux vecteurs directeurs de d_1 et d_2.
Un système de deux équations linéaires.
GBZM @ 04-09-2023 à 19:55

Tu as les coordonnées de T_1 et T_2 en fonction de \lambda et k.
Moi, je chercherais à déterminer \lambda et k pour que le vecteur \overrightarrow{T_1T_2} soit orthogonal aux vecteurs directeurs de d_1 et d_2.
Un système de deux équations linéaires.

J'ai trouvé que k=2 et \lambda=1 et donc \vec{T_1T_2}=(1,2,-1)

Posté par
Lyyre : Déterminer l'équation de la sphère à l'aidede deuxdroites t 04-09-23 à 20:10

de plus on a T_1(-3,-2,3) et T_2(-2,0,2). Donc on a les points de contacts.

Posté par
Lyyre : Déterminer l'équation de la sphère à l'aidede deuxdroites t 04-09-23 à 20:16

et le centre vaut donc \Omega(\frac{-5}{2},-1,\frac{5}{2}).
De plus le rayon vaut \Omega T_1 = \sqrt{\frac{3}{2}} d'où l'équation de la sphère est de la forme:
(x+\frac{5}{2})^2+(y+1)^2+(z-\frac{5}{2})^2= 3/2.

Posté par
luzakre : Déterminer l'équation de la sphère à l'aidede deuxdroites t 05-09-23 à 08:47

Ce n'est pas plus rapide mais on peut aussi trouver T_1,T_2 en cherchant le minimum de la distance entre M_1\in d_1,\;M_2\in d_2 (car la perpendiculaire commune réalise la "plus courte distance" entre les droites). Comme tu as paramétré les droites c'est assez vite fait (à condition de savoir trouver le minimum d'un polynôme de degré 2).

Posté par
GBZMre : Déterminer l'équation de la sphère à l'aidede deuxdroites t 05-09-23 à 16:38

Citation :
Ce n'est pas plus rapide

C'est en fait exactement le même calcul puisque la dérivée par rapport à M_1 du carré de la distance entre M_2 et M_1 sur d_1 de vecteur directeur v_1 est v_1\cdot \overrightarrow{M_1M_2}.


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