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déterminer le croisement de deux trajectoires (jeu)

Posté par Fozzy (invité) 09-07-04 à 13:14

Bonjour,
j'ai une troupe T1 qui va de A à B à une vitesse V1 (A,B et V1 connus)
J'ai une autre troupe T2 qui part d'un point C à une vitesse V2 (C
et V2 connus) dans le but de couper la trajectoire de T1 avant son
passage.
Pouvez-vous me donner la formule ?

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : déterminer le croisement de deux trajectoires (jeu) 09-07-04 à 14:11

On peut calculer la position du ou des points de [AB] vers le(s)quel(s)
la troupe T2 doit se diriger pour y arriver en même temps que la
troupe T1.

Prenons un repère dans le plan des points A, B et C tel que A soit l'origine
et la direction AB comme axe des abscisses.
On prends l'axe des ordonnées pour que le repère soir orthonormé.


Dans ce repère, on a C(X ; Y) avec X et Y connus.
La position de la troupe T1 est repérée par le point P(v1.t ; 0)

L'écart entre C et P est |CP| = Racine carrée[(v1.t - X)² + Y²]
La distance parcourue par la troupe 2  = v2.t

Les troupes se rencontrent si v2.t = Racine carrée[(v1.t - X)² + Y²]

(v2)².t² = (v1.t - X)² + Y²
(v2)².t² = (v1)².t² -2.v1.X.t + X² + Y²
t²[(v1)² - (v2)²] - 2.v1.Xt + X² + Y² = 0

t = [v1.X +/- Racinecarrée((v1)²X²-(X²+Y²).((v1)² - (v2)²))]/((v1)²
- (v2)²)

La troupe T2 doit marcher vers un des points :

P( v1.(v1.X +/- Racinecarrée((v1)²X²-(X²+Y²).((v1)² - (v2)²)))/((v1)²
- (v2)²) ; 0)

Il se peut qu'aucun point P ne conviennent, soit parce que la quantité
sous le radical < 0 ou que le ou les points P tombent en dehors de
[AB].
Il se peut aussi que 1 ou 2 conviennent et ceci en fonction des valeurs
numériques des données.
-----
Sauf distraction.    

Je n'ai rien relu et ne pourrai te donner plus d'info si quelque
chose ne va pas car je pars en vacances dans quelques instants.
  

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : déterminer le croisement de deux trajectoires (jeu) 09-07-04 à 14:18

A la fin, j'ai voulu écrire:

Il se peut aussi que 1 ou 2 positions pour P conviennent et ceci en
fonction des valeurs numériques des données.

Posté par
stella
re : déterminer le croisement de deux trajectoires (jeu) 09-07-04 à 14:37

Bonjour J-P

Alors J-P on n'arrive pas à quitter l'Ile des maths.
Bonnes vacances

Stella

Posté par
Belge-FDLE
Erreur je pense 09-07-04 à 14:59

Salut,

Je ne suis pas sûr mais je pense qu'il y a une erreur dans le raisonnement
de J-P (je l'ai testé avec un exemple, et, sauf erreur de ma
part, cela ne marche pas ).
Je suis en train d'y travaillé, je POST dès que j'ai trouvé.

Passe de bonnes vacances J-P, (bien qu'à l'heure qu'il est,
tu dois déjà être parti ) et à l'année prochaine!!!

À +

Posté par
Belge-FDLE
J-P a tout a fait raison, dsl 09-07-04 à 15:57

Re-Salut,

La méthode de J-P est tout à fait juste. Dsl, c'est moi qui ai
du mal à me servir d'une calculatrice .


Sinon une autre méthode consiste à procéder ainsi :

On prend comme J-P, A comme origine [A(0,0)], et (AB) comme axe des
abcisses, l'axe des ordonnées dépendant de ce dernier pour que
le repère soit orthonormal.
On a donc B(0,b) (b appartenant à

On note C(x,y)
On note P(0,b-m) le point de "rencontre des trajectoires" (m étant
l'écart séparant le point B de P).

Cette méthode consiste donc à calculer "m" afin de déduire à partir
des coordonnées de B (connues) celles de P


On sait que :

v = d/t  <=>   v*t=d  <=>  d/v=t

(v signifiant "vitesse", t "temps" et d "distance")

Or on sait que la vitesse, et la distance parcourue par T1 et T2 seront
dans la grande majorité des cas différents. Ce qui nous importe,
c'est le temps. Il faut que T1 parcoure AP dans le même
temps que T2 parcourt CP.
On va donc utilisé la formule souligné plus haut.

On connait v1 et v2.
On sait que AP= abcisse de P = b-m    
    (b étant l'abcisse de B)
On sait de plus que :
   CP = ((b-m-x)2 + y2)
    ( b-m étant l'abcisse de P et x celle de C, y étant l'ordonnée
de C. Pour l'ordonnée de P, elle est nulle car P est situé sur
l'axe des abcisses)


Il suffit donc de résoudre l'équation, d'inconnue "m" :

          AP/v2 = CP/v1
[ ((b-m-x)2 + y2)] /v2 = (b-m)/v1

Une fois "m" connu, on sait facilement que :

    P(b-m ; 0)


La méthode de J-P est cependant plus judicieuse car elle fait intervenir
moins de variables : Bravo à lui qui prend des vacances bien méritées
    .
Cependant, mieux vaut avoir trop de manière de faire que pas assez, donc pour
le fun, je t'ai quand même donnée la mienne .

J'espère avoir pu t'aider.

À +

Posté par Fozzy (invité)re : déterminer le croisement de deux trajectoires (jeu) 09-07-04 à 16:48

heuu ...
je ne suis pas sûr de comprendre encore ma question ....
Mon bts a quelques années déjà
J-P me dit "Il se peut qu'aucun point P ne conviennent"
Comment je vais savoir s'ils conviennent ou non ?
Vous prenez AB comme axe des abscisse, mais la position de C n'est
pas connue dans ce repère, c'est pas gênant ?
Excusez-moi si ces questions vous paraissent idiotes et merci de votre temps.

Posté par
Belge-FDLE
re : déterminer le croisement de deux trajectoires (jeu) 09-07-04 à 18:43

Pour la question sur ce qu'a dit J-P, tu vas savoir s'ils
conviennent ou non si les résultats te donne un point de coordonnées
situé sur [AB] (alors il convient) ou en dehors de [AB] (dans ce
cas il ne convient pas), ou alors aucun point (l'équation du
second degré n'admettant pas de solution réelle dans certaisn
cas, et évidemment dans ce cas là, aucun point ne convient).

Donc bref, pour savoir si le point convient ou pas fait les calculs, et
les résultats (si résultat il y a ) t'indiqueront si ce point
convient ou pas.

Par exemple, imaginons que la distance de (AB) à C soit de 10 km, que
T1 (qui part de A) va à 1000 km/h et que T2 qui part de C va à 1
km/h, si par exemple AB=10 km,  alors aucun point ne conviendra.
(ce sera également le cas pour beaucoup d'autre longueurs de AB,
même toutes je pense, dans cet exemple, bien que je ne sache le démontrer).

Cet exemple il faut essayer de se l'imaginer tu vas comprendre
tout de suite




Ensuite pour le deuxième problème, tu avais dis dans l'énoncé que C
était connu. S'il est connu, on arrive normalement à déterminer
ses coordonnées dans un repère orthonormal.

Si tu veux, pour mieux comprendre, donne moi un exemple précis, un peu
comme un exercice et j'essaierai de le résoudre tout en expliquant
comment je fais pour m'y prendre .

Là je part au squash, donc si tu POST, ne t'attend pas à une réponse
de ma part avant 22 H 00 du soir aujourd'hui voire plus, mais
je répondrai, c'est promis. Et rappelle-toi que le forum ferme
le 11 Juin (congés estivaux), alors faut faire fiça-fiça .

À +



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