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Niveau Master Maths
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Déterminer le polynôme minimal d'un élément algébrique

Posté par
yewll
20-05-22 à 13:00

Bonjour,
J'aimerais bien comprendre cet exo assez en profondeur avant de passer à la suite de mes révisions sereinement, mais là  je suis vraiment bloqué...
L'exercice est le suivant :


On pose K=F2[Y]/Y4+Y+1 et on désigne par a la classe de Y dans K.
Notons b = a2 + a
(1) Montrer que K est un corps.
(2) Trouver le polynôme minimal de b sur F2. Quel est le cardinal de F2(b) ?
(3) Factoriser X3+1 dans K[X].
(4) Quel est le polynôme minimal de a sur F2(b) ?

Et pour l'instant j'en suis à là :

1) Y4 + Y +1 est irréductible sur F2 dans K est un corps

2) Le polynôme minimal de b sur F2 est un polynôme unitaire, non nul de F2[X] de plus petit degré s'annulant en b. Il est irréductible.
Là je n'arrive pas vraiment à comprendre comment un polynôme peut s'annuler sur F2[X] en b = a2+a alors que a est la classe de Y dans K ? Le polynôme doit s'annuler dans K ?
Par ailleurs, je crois savoir que [K : F2] = 4 = [K : F2(b)] [F2(b) : F2] je pense que ça peut m'aider, mais je ne vois pas trop comment ?

Voilà, si vous avez des idées pour me débloquer je suis preneur

Posté par
yewll
re : Déterminer le polynôme minimal d'un élément algébrique 20-05-22 à 13:22




Pour la question 2 je pense que le polynôme minimal, c'est X2 + X +1 mais je ne sais pas trop pourquoi (je l'ai déterminé un peu par hasard).
On a bien b2+b+1 = a4 + a2 + a2 + a + 1 = a4 + a + 1 =0 dans K.

Posté par
GBZM
re : Déterminer le polynôme minimal d'un élément algébrique 20-05-22 à 13:26

Bonjour,
Tu as trouvé un polynôme unitaire annulateur de b. S'il n'était pas son polynôme minimal, de que degré serait ce polynôme minimal ?

Posté par
yewll
re : Déterminer le polynôme minimal d'un élément algébrique 20-05-22 à 13:39


Merci de votre réponse.
Si X2+X+1 n'est pas le polynôme minimal alors le polynôme minimal serait de degré 1 car le polynôme minimal est irréductible et X^2+X+1 est le seul polynôme irréductible de F2, or les deux polynômes de F2 de degré 1 sont X et X+1 et ils n'annulent pas b ?

Posté par
GBZM
re : Déterminer le polynôme minimal d'un élément algébrique 20-05-22 à 13:50

Pourquoi le point d'interrogation ?

Posté par
yewll
re : Déterminer le polynôme minimal d'un élément algébrique 20-05-22 à 14:04

C'était seulement pour m'assurer que mon raisonnement était valide.
Et je me demande s'il existe une méthode pour trouver le polynôme minimal ou s'il faut tester chaque polynôme irréductible en commençant par les plus petits degrés jusqu'à trouver un polynôme qui annule l'élément algébrique en question ?
Pour la question 4 par exemple, je ne sais pas vraiment comment m'y prendre car on est plus sur F2 et je ne vois pas comment déterminer les polynômes irréductibles sur F4.
Sinon pour conclure cette question, on a donc le cardinal de F2(b) = 22 = 4.

Posté par
GBZM
re : Déterminer le polynôme minimal d'un élément algébrique 20-05-22 à 16:27

yewll
Pour la question 4 par exemple, je ne sais pas vraiment comment m'y prendre car on est plus sur F2 et je ne vois pas comment déterminer les polynômes irréductibles sur F4.[/quote



Le polynôme minimal de a sur \mathbb F_2(b) t'est donné  dans la définition de b.

Posté par
yewll
re : Déterminer le polynôme minimal d'un élément algébrique 20-05-22 à 18:27

Et bien, je peux aisément déterminer un polynôme annulateur de a en l'occurrence X2+X+b et je peux faire comme précédemment, tester X, X+1, X+b et X+b+1, mais je me demande s'il n'y a pas un moyen de déterminer plus facilement que le polynôme est de degré 2. Par exemple dire que le polynôme minimal de a sur F4 est au moins égal à 2 car sinon on aurait F4(a) = F4 et montrer un impossibilité. Également pour la question 2, je me demande si on ne peut pas montrer que le polynôme est nécessairement de degré 2 ou au moins qu'il ne peut pas être de degré 1 ?

Posté par
GBZM
re : Déterminer le polynôme minimal d'un élément algébrique 20-05-22 à 18:43

Oui, tu n'as pas besoin de tester. Tu sais que K est une extension de degré 4 de \mathbb F_2, et que \mathbb F_2(b) est une sous-extension  de degré 2.

Posté par
yewll
re : Déterminer le polynôme minimal d'un élément algébrique 20-05-22 à 18:55

Mais je ne vois pas bien en quoi cela implique que le degré du polynôme minimal de a sur F2(b) est de degré 2 ?

Posté par
GBZM
re : Déterminer le polynôme minimal d'un élément algébrique 20-05-22 à 22:39

Ne sais-tu pas que le degré de l'extension \mathbb F_2(b)\hookrightarrow \mathbb F_2(a) est le degré du polynôme minimal de a sur \mathbb F_2(b) ?

Posté par
yewll
re : Déterminer le polynôme minimal d'un élément algébrique 21-05-22 à 15:19

Bonjour
Vous ne voulez pas dire  F2(b) -> F2(b)(a) plutôt ? En fait de ce que je comprends, on a F2 -> K qui est de degré 4 et donc à la question 2) on a deux cas possibles : [F2 : F2(b)] = 2 et [F2(b) : K] =2 mais on peut aussi avoir [F2 : F2(b)] = 4 et [F2(b) : K] =1 ou l'inverse.
La déjà, je ne sais pas si on peut déterminer directement que [F2 :F2(b)] = 2 sans avoir déterminé justement le polynôme minimal de b sur F2 ? Après pour la question 4) on sais que [F2 :F2(b)] = 2 donc nécessairement [F2(b) = K] = 2 mais la encore, on a deux possibilités soit [F2(b) : F2(b)(a)] = 2 et [ F2(b)(a) : K] = 1 ou l'inverse. Du coup, si je sais que K est une extension de degré 4 de F2 et que F2(b) est une sous-extension de degré 2, je ne comprends pas comment je peux savoir que [F2(b) : F2(b)(a)] =2 et donc que le polynôme minimal de a sur F2(b) est égal à 2.

Posté par
GBZM
re : Déterminer le polynôme minimal d'un élément algébrique 21-05-22 à 15:36

Quelle différence fais-tu entre ton F2(b)(a) et K=\mathbb F_2(a) ??
La, je pense que tu t'embrouilles complètement. Reviens sur terre.
Dans l'histoire, on a trois corps : \mathbb F_2, K=\mathbb F_2(a) qui est une extension de degré 4 et une extension intermédiaire \mathbb F_2(b) : \mathbb F_2\subset \mathbb F_2(b)\subset K=\mathbb F_2(a).
K est engendré par a sur \mathbb F_2, donc aussi a fortiori sur \mathbb F_2(b).
Alors je répète ma question : quelle différence fais-tu entre ton F2(b)(a) et K=\mathbb F_2(a) ??

Petit détail : tu notes le degré des extensions à l'envers. Si L est une extension finie de K, le degré de cette extension est noté [L:K] et pas [K:L] comme tu le fais : pense à l'analogie avec la division !

Posté par
yewll
re : Déterminer le polynôme minimal d'un élément algébrique 21-05-22 à 16:31

Merci encore pour vos réponses.
Donc si je comprends bien comme b K et F2 K alors F2(b) qui est le plus petit sous-corps contenant F2 et b est inclus dans K . Par ailleurs K= F2(a) donc K F2(b)(a) mais comme b K ,
F2(b)(a) = K et donc [F2(a) : F2(b)] =2 et donc le polynôme minimal de a sur F2(b) est de degré 2


Ps : désolé si mes questions sont un peu à côté de la plaque, je suis maths appliqué et ma formation a toujours été très orientée autour de l'informatique, les corps c'est assez nouveau pour moi

Posté par
yewll
re : Déterminer le polynôme minimal d'un élément algébrique 21-05-22 à 17:26


Bon, il n'est pas nécessaire de détailler autant ça me parait évident en fait maintenant...
Il me reste donc plus qu'à aborder la question 3) C'est-à-dire factoriser X3+1 dans K[X].
Là, je ne vois rien d'autre que d'essayer de trouver les racines :
Je trouve que b est une racine, j'obtiens (X+b)(X2+bX+b2)
Puis 1, j'obtiens donc  (X+b)(X+1)(X+b+1)
Voilà, sauf erreur de ma part, je pense que c'est tout bon merci  

Posté par
GBZM
re : Déterminer le polynôme minimal d'un élément algébrique 21-05-22 à 17:38

Avec plaisir.



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